信号的采样过程是理想类型，因为它在时间轴上从?∞延伸到+∞，因此瞬时数 t n是无限的。这破坏了使用
电子计算器对采样信号进行频率分析的可能性。因此，需要能够返回有限数量的瞬间（样本）的真实采样过程。
加窗技术——光谱泄漏
从数学上讲，“截断”信号相当于将其乘以时间窗口，如下所示 ：
相应的图表如图 1 所示。
图 1：时间窗口示例。
图 1：时间窗口示例
由此可见，对于在整个时间轴上延伸的任何信号，对于指定的τ，截断信号由下式给出：
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电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
对于截断信号的傅立叶变换的计算，卷积定理可以为我们提供帮助，正如之前的教程中已经研究过的那样。因此，我们省略这些步骤并重点介绍截断正弦测试信号的具体示例：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
傅里叶变换是以下sinc函数：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
X τ ( f )的趋势如图 2 所示。请注意，在τ → +∞ 的极限中，由于sinc函数的已知属性，傅里叶变换 (4)通过无限增加信号的持续时间变成以f 0为中心的狄拉克δ函数，因为我们现在有一个纯正弦信号，所以它一定是这样。
On the
other hand, for a finite value of τ, the spectral distribution tends to “widen” thus presenting a frequency dispersion given by δf = f1 ? f?1, where the terms in the second member are the first (symmetric) frequencies in which the Fourier transform vanishes (Figure 2). A quick calculation returns δf = 2/τ. The frequency dispersion, known as spectral leakage, represents a further distortion of the signal to be added, due to sampling, to the aliasing. This distortion can be reduced by increasing the duration of the time window, or by using non-rectangular windows (smoothing windows).
图 2：截断的信号频谱 (3)。
图 2：截断的信号频谱 (3)
离散傅里叶变换
在采样信号x c ( t )的情况下以及在截断和采样信号x τ,c ( t ) 的情况下，频率从-∞到+∞连续变化并且可以被离散化。由此产生的算法允许您从时域t n = nT c 移动到频域f n ，缩写为 DFT：离散傅立叶变换。去掉下标τ, c，样本序列 { x n : n = 1 , …, N } 假设为周期性的，周期为τ = NT c，即频率由下式给出：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
频域采样遵循f → f n = kf τ：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
我们考虑了方程（5）。事实证明：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
此处，X h = X ( f h )，其中h = 0 , 1 , …, N ? 1。复数序列X h 定义x τ,c ( t )的 DFT 。更准确地说，复数X h 称为h 阶谱分量。在连续情况下，傅立叶变换X τ,c ( f ) 的维度为x ( t ) 除以频率，因为X τ,c ( f）是频谱密度（每单位频率间隔的频谱分量的幅度）。
然而，在离散情况下，数量X h 与x具有相同的维度，因为X h 不是谱密度而是分量的幅度。将方程（7）反转：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
以对称形式，我们有：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
提供频率分布信息的频谱分量是 k = 0, 1, .., N/2 的频谱分量。由式（6）我们有：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
频率由下式给出：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
它被称为折叠频率。让我们将这些概念应用于以下调幅正弦信号的研究：
电力电子科学笔记：离散和快速傅立叶变换
指数阻尼允许我们用持续时间τ = 4 s的窗口截断信号，如图 3 所示。我们使用T c = 10 ?2 s进行采样，因此f c = 10 Hz。通过使用Mathematica执行傅里叶变换，我们获得了相应频谱的图表（图 4），其中横坐标出现的是样本，而不是频率。为了使后者出现，我们必须使用方程（6）。
图 3：信号被截断 (12)。
图 3：信号被截断 (12)
图 4：截断和采样信号的傅里叶频谱 (12)。
图 4：截断和采样信号的傅里叶频谱 (12)
通过向Mathematica传达正确的指令（通过列表），我们获得了频率函数的频谱，如图 5 所示。但是，它仍然不是很清楚。让我们尝试缩小范围，获得如图 6 所示的频谱。从中，我们看到 3 Hz 附近的峰值，这正是正弦振荡的频率 ( ν 0控制调制包络的宽度，因此尽管具有过去的倒数的尺寸，但它不是频率）。返回图 5，我们看到折叠频率为 50 Hz，从此时开始，频谱是前一个频谱的复制品。我们得出的结论是，所检查信号的傅里叶频谱仅在 3 Hz 附近与零有明显不同，因此这是主要频率。
图 5：截断和采样信号的傅立叶频谱，作为频率的函数。
图 5：截断和采样信号的傅立叶频谱，作为频率的函数
快速傅立叶变换
方程(9)可以写成矩阵形式。准确地说，是N阶方阵和N行列向量的行乘列的乘积。因此，DFT的计算需要N 2量级的多次运算。然后我们就明白了当样本数量很大时，该算法的计算成本很高。为了减轻计算负担，人们开发了各种称为 FFT 的算法，将运算次数减少到O ( N ln N )。
图 6：上图的傅立叶频谱，但频率范围缩小
图 6：上图的傅立叶频谱，但频率范围缩小
