一阶低通滤波器的截止频率

1. 基本定义

一阶低通滤波器（First-Order Low-Pass Filter）允许低频信号通过，而衰减高频信号。其截止频率（Cutoff Frequency, fcfc）是滤波器增益下降至 -3 dB（即幅度降为输入信号的 12≈70.7%2

2. 截止频率公式

对于RC一阶低通滤波器（由电阻 RR 和电容 CC 组成），截止频率的计算公式为：

其中：

• RR：电阻值（单位：欧姆，Ω）

• CC：电容值（单位：法拉，F）

• ππ：圆周率（≈3.1416）

3. 推导过程

1. 传递函数：
   一阶RC低通滤波器的传递函数（频域）为：

   H(f)=VinVout=1+j?fcf1

   • jj：虚数单位（j2=?1j2=?1）。

   • ff：输入信号频率。

2. 幅度响应：
   取传递函数的模（增益）：

   <span style="font-family: "sans serif", tahoma, verdana, helvetica;"><br></span>

   当 f=fcf=fc 时，增益为：

   ∣H(fc)∣=12≈0.707（即-3 dB）

4. 关键特性

• 低于 fcfc：信号几乎无衰减通过（增益≈1）。

• 等于 fcfc：信号衰减至 -3 dB（70.7%）。

• 高于 fcfc：信号以 -20 dB/十倍频程 的速率衰减（频率每增加10倍，增益下降10倍）。

5. 设计示例

目标：设计一个截止频率 fc=1kHzfc=1kHz 的RC低通滤波器。
步骤：

1. 选择电容 C=100nFC=100nF（0.1 μF）。

2. 计算电阻 RR：

   <br>R=2πfcC1=2π×1000×100×10?91≈1.59kΩ

   （实际选用标称值 1.6 kΩ）

6. 其他一阶低通滤波器

• RL滤波器（由电阻和电感组成）：
  截止频率公式：

  <br>fc=2πLR

  其中 LL 为电感值（单位：亨利，H）。

7. 注意事项

• 相位偏移：在截止频率处，输出信号相位滞后输入信号 45°。

• 抗混叠：常用于ADC前端，限制高频噪声。

• 高阶滤波器：如需更陡峭的衰减，可串联多级一阶滤波器或使用二阶（如Sallen-Key）滤波器。

总结

一阶低通滤波器的截止频率 fcfc 由 RC或RL参数 决定，是滤波器设计的指标。通过调整 RR 和 CC 的值，可灵活控制滤波器的频率响应范围。