频率密度和噪声
在上一篇文章中，我们考虑了一个简单的情况：调幅正弦信号。执行采样/截断后，很容易确定傅里叶频谱中是否存在单个频率：正弦振荡的频率。对于更复杂的过程，预计会出现更多的频率。问题是：“从存在无限频率的意义上来说，是否存在傅里叶频谱无限密集的信号/过程？”
乍一看，这似乎是一个病态病例的存在；但事实上，这似乎是一个病态病例的存在。事实上，这些过程非常普遍：我们正在谈论噪音。例如，图 1 显示了白噪声的典型傅里叶频谱（方差为 1，平均值为零）。与往常一样，重要频谱从采样索引的 0 延伸到 1,000（不要与频率值混淆）：频谱的第二部分是部分的复制品。
图 1：白噪声的傅里叶频谱。
图 1：白噪声的傅里叶频谱
统计分析——平稳性和遍历性
白噪声很奇特，因为假定作为时间函数的x ( t ) 值 100% 不相关，因此频谱中存在无限频率。从数学上讲，白噪声是一个在每个点都具有有限不连续性的函数，因此具有不可预测性。另一种解决方案是将x ( t ) 表示为非定义的函数，即对于给定时刻t，数量x可以采用多个值。
在这一点上，很明显描述随机过程的获胜策略是使用统计方法。通过考虑所谓的平稳过程可以实现显着的简化：找到给定x值的概率不依赖于时间。下一步将不是考虑单个进程，而是考虑正在检查的进程的大量（多无限）心理副本。如果我们知道概率的解析表达式，我们就可以对x进行统计平均，通常用 x 表示。这种计算避免了确定x的时间平均值的尴尬问题。事实上，根据平均值的定义：
电力
电子科学笔记：噪声和 DFT/FFT
这种计算不切实际，原因有二：
x ( t ) 不是普通意义上的函数
物理上达到极限的操作转化为无限大的观察/测量时间T。
正是这一种情况提供了解决方案：在无限的时间内，该过程会经历所有可能的配置或我们统计样本的所有心理副本。换句话说，我们得出结论：统计平均值 ? x ? 与时间平均值一致（等式 1）。这种性质被称为遍历性：因此，遍历过程表现出这种有趣的性质。从数学上来说，确定给定过程的遍历性是非常困难的。启发式地讲，大多数物理兴趣的随机过程都是遍历的。
自相关函数 – 维纳-辛钦定理
在图 1 中，我们得到了平均值为零的白噪声的傅立叶频谱。为了数学方便起见，我们总是将自己置于这种情况，即如果 x 不为零，我们仍然可以从各种表达式中减去该值以重现先前的情况。由此可见，根据方差的定义，有：σ 2 = x 2 ；但这只不过是总信号强度。现在让我们考虑以下量，其幂次维度为ψ ( τ ) = ? x (0) x ( τ )? 无论τ起到时间变量的作用。很明显，ψ (0) 是方差，而在不同时间，它告诉我们各个值x (0) 和x ( τ ) 如何“相关”。对于白噪声，我们有：
为了表示这样的对象，狄拉克δ函数可以帮助我们：ψ ( τ ) = σ 2 δ ( t )，即使它不能再现需要积分的ψ (0)。众所周知，狄拉克δ的傅里叶变换是一个常数函数，因此（2）的傅里叶变换是“平坦的”，这正是白噪声功率谱的预期，因为每个频率对相同的频率有贡献。信号功率的权重。
这些结论有一个共同特征：它们对于任何遍历过程x ( t ) 都是有效的。称为自相关函数的对象ψ ( τ ) 与x ( t )的功率谱之间的联系构成了的维纳辛钦定理的陈述： x ( t )的自相关函数的傅里叶变换是功率x ( t )的频谱。
Mathematica中的自相关函数
Mathematica提供了模拟白噪声的可能性，然后确定其功率谱和自相关函数。对于这种环境，每条指令都被视为一个“函数”，其参数是模式，因此它们也可以是列表。因此，我们定义了一个 PowerSpectrum[x
List] 函数，其中下划线向Mathematica内核传达 x 可以是任何东西，只要它是一个“列表”。简而言之，x 是时间序列（采样和截断的信号）。然后，代码块内的指令执行傅里叶变换与变换本身的复共轭的乘积（根据功率谱的定义）。
根据维纳辛钦定理，自相关函数是功率谱的逆变换。所以我们定义了一个函数 Correlate[x List]。例如，在白噪声的情况下，我们得到图 2 中的趋势，从中我们可以看到在非零时间不存在相关性。
图 2：均值为零、方差为 1 的白噪声的自相关函数。
图 2：均值为零、方差为 1 的白噪声的自相关函数
素数的情况
作为 Mathematica 脚本的应用示例，我们研究素数的分布。准确地说，用p n 表示第n个，我们定义序列：
这相当于连续情况下的导数。通过绘制n 1 时的 { δ n }图形，我们获得了白噪声类型的趋势。正如我们从图 3 和图 4 中看到的那样， Giovanni Di Maria在 Octave 中证实了这一点。
因此，素数的分布是白噪声或维纳过程的积分。
图 3：n = 1 时的 {δn} 趋势，..，2000 年（Giovanni Di Maria）。
图 3：n = 1 , .., 2000 时 { δ n }的趋势（Giovanni Di Maria）
图 4：{δn} 的自相关函数（Giovanni Di Maria）。
图 4：{ δ n }的自相关函数（Giovanni Di Maria）
