了解 ADC 的幅度量化误差

   本文研究模数转换器的量化误差.

  ADC 将输入值转换为一组离散级别中的一个值，并输出数字代码以指定量化级别。量化过程会给系统带来一些误差。

   本文将通过将斜坡输入应用于量化器来研究量化误差。然后，我们将看一个示例，其中量化误差类似于噪声源。此外，我们将讨论使用噪声源对量化误差进行建模的优点。我们将在本文的下一部分继续讨论。在那里，我们将研究允许我们使用噪声模型的假设，并且我们将使用获得的模型来表征量化误差的影响。

   理想的 ADC

   理想的单极三位 ADC 的传递函数如图 1 所示。

图 1

     模拟输入的满量程 (FS) 值被分为八个相等的间隔（用 ?、1/4、... 表示）。在这些间隔的中点，存在从一个数字输出值到下一个数字输出值的转变。除个和一个台阶外，其他台阶的宽度都等于 FS/8。步长 (FS/8) 还指定输出数字代码的有效位 (LSB) 的模拟值。因此，如果我们将上述 ADC 的输出应用于理想的数模转换器（图 2），代码 001 将产生模拟值 FS/8，代码 010 将产生 FS/4，依此类推。

图2

幅度量化误差

这里重要的一点是，给定的数字代码代表一系列模拟输入值；输入的幅度被量化。例如，从FS/16到3*FS/16的所有输入值都由一个输出代码（代码001）表示。如果我们将 ADC 的输出连接到理想的三位 DAC（图 2），代码 001 将产生模拟值 FS/8。因此，从 FS/16 到 3*FS/16 的模拟值由单个模拟值 FS/8 表示。因此，即使是理想的幅度量化也会引入一些误差。该误差称为量化误差 (V q )，可以通过从 DAC 输出 (V out ) 中减去 ADC 输入 (V in ) 来计算，如下图 3 所示。

图3

    斜坡输入的量化误差

     让我们将斜坡信号应用于上述设置的输入，并更仔细地检查量化误差。图 4 中的蓝线显示了应用于输入的斜坡。此外，该图以红色显示了我们在 DAC 输出中获得的量化电平。

图4

      在t 0和t 1之间，输入小于FS/16。考虑到图 1 的输入输出特性，ADC 输出为 000，这给出了量化模拟值 V out = 0。如图 5 所示，此间隔的量化误差从 0 到 - ? ? FS/8（负半个 LSB）。

图5

    在t 1和t 2之间，输入大于FS/16且小于3FS/16。ADC 输出为 001，给出量化模拟值 V out = FS/8（见图 1 和 4）。对于此间隔，量化误差范围为 + ? ? FS/8 到 - ? ? FS/8（参见图 5）。同样，我们可以找到其他量化级别的误差值，如图 5 所示。请注意，除了一个级别之外，量化误差始终在 ± FS/16（半个 LSB）之间。

    现在我们可以使用图 5 来计算斜坡输入的量化误差的均方根 (RMS) 值。在区间 T 1 < t < T 2内定义的函数 f(t) 的 RMS可通过以下等式获得：

     对于图 5 的误差波形，我们有：

   为了简单起见，我们忽略波形的部分 (0 < t < t 1 ) 和部分 (t 8 < t < t 9 )。随着量化器分辨率的提高，忽略这两部分而引入的误差会减小。我们获得：

    上式中的积分对应于同一信号的时移版本。时间平移不会改变曲线下的面积（或等效地，其积分）。因此，这些积分项是相等的。由于 t 2 -t 1 = t 3 -t 2 = …= t 8 -t 7，我们可以将上式简化为：

公式1

    我们可以直接计算上面的积分。然而，为了使计算更简单，我们假设t 2 -t 1 = T并对波形应用-T/2的时移。因此，我们可以简单地计算 V q ,new (t)的 RMS，如下图 6 所示。

图6

因此，方程 1 可以重写为

公式2

    其中 V q ,new (t) 由以下等式给出：

    将此方程代入方程 2 并计算得出

我们知道FS/8是LSB的模拟值。因此，RMS 误差由以下等式给出：

   这是一个重要的结果，我们稍后将再次推导它（在本文的第二部分），从不同的角度看待问题。

    让我们总结一下迄今为止的发现：我们发现，即使是理想的幅度量化也会在系统中引入一些误差，称为量化误差。为了研究该误差的一些特性，我们应用了斜坡输入并观察到误差的 RMS 与 LSB 值成正比。此外，如图 5 示例所示，量化误差始终在 ±LSB/2 之间。提高量化器的分辨率将减少 LSB 和误差项。此外，忽略图 5 中波形的部分 (0 < t < t 1 ) 和部分 (t 8 < t < t 9 )，我们观察到误差的平均值为零。另请注意，对于给定的输入值，我们可以计算出误差的准确值。 

   更复杂输入的量化误差

    尽管上述讨论使我们能够深入了解量化误差的某些属性，但它基于一个不切实际的假设，即输入是斜坡。让我们看另一个例子。这次我们对离散余弦信号 x[n]=0.99cos(n/10) 进行量化，如图 7 所示。  

图 7图片由离散时间信号处理提供。

     如果我们对该信号应用 8 位量化器，量化误差序列将如图 8 所示。

图 8图片由离散时间信号处理提供。

     与斜坡输入的情况不同，此示例的误差似乎不遵循某种模式，并且计算 RMS 误差并不容易。将此示例的输入余弦与错误序列进行比较，我们观察到以下内容：

• 输入是单频信号，但误差信号的频率内容似乎有很大不同。它的变化很快，因此我们期望它具有高频成分。
• 我们无法通过目视检查识别输入余弦和错误序列之间的联系。错误序列似乎与输入不相关，并且从一个样本到下一个样本随机变化。

      正如我们在斜坡输入示例中观察到的那样，我们知道量化误差信号并不是真正随机的，实际上可以针对给定的输入值进行计算。但是，如果我们可以在某些假设下将量化误差建模为随机信号呢？量化误差的幅度在 ±LSB/2 之间，这可能是一个很小的值，特别是当我们处理高分辨率量化器时。现在，如果这个低幅度信号以不可预测的方式变化，人们可能会得出结论，它类似于我们通常在不同电路和系统中遇到的噪声源。

   将量化误差建模为噪声源的优点

    将量化误差视为噪声源可以使问题简化很多。我们知道如何分析特定类型的噪声源对线性时不变 (LTI) 系统的影响。噪声源的瞬时值通常是不可预测的，因此时域分析是不可能的。然而，我们可以长时间观察噪声，并利用测量结果找到噪声的统计模型。例如，噪声源的一个有用特征是其“功率谱密度”（PSD），它使我们能够深入了解不同频带中噪声的平均功率。具有噪声信号的 PSD，

     因此，假设可以通过噪声源对量化过程进行建模，我们只需要找到噪声模型的功率谱密度，并用它来表征误差对系统性能的影响。在这种情况下，我们可以使用图 3 的模型来描述具有加性噪声源的量化过程，如图 9 所示。如您所见，量化值 (V out ) 等于输入( V in )加上模拟量化误差 (V q )的噪声信号。

图9

   在本文的下一部分中，我们将研究将量化误差建模为噪声源的条件。然后，我们将深入研究所获得模型的一些重要特征，并使用它们来分析量化误差对系统性能的影响。

   结论

    即使是理想的幅度量化也会在系统中引入一些误差，称为量化误差。该误差的 RMS 与 LSB 值成正比。看来 我们可以在某些假设下将量化误差建模为噪声信号。如果可能的话，这可以显着简化分析量化误差对系统性能的影响。