如果您研究过拉普拉斯变换，您就会熟悉将时间函数变换为频率函数的概念。拉普拉斯变换中使用的变量是s，它代表复频率，即具有实部和虚部的频率：
\[s=\sigma+j\omega\]
您可以将 z 变换视为拉普拉斯变换的离散时间版本。我们使用复数变量 z 代替 s，并通过将 z 变换应用于数据点序列，我们创建了一个表达式，使我们能够对离散时间信号执行频域分析。
通过 z 变换，我们可以为数字
滤波器创建传递函数，并且可以在复平面上绘制极点和零点以进行稳定性分析。逆 z 变换允许我们将 z 域传递函数转换为差分方程，该差分方程可以在为
微控制器或数字信号
处理器编写的代码中实现。
如何计算 z 变换
离散时间信号 x[n] 与其单边 z 变换 X(z) 之间的关系表示如下：
\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty x[n]z^{-n}\]
该求和以一系列单独值开始，并且由于我们从 n = 0 到 n = 无穷大进行求和，因此该序列的长度是无限的。我们可以用无限的求和序列来做什么？
这就是融合发挥作用的地方。
与 z 变换的收敛
考虑单位步长，我们定义如下：
\[u[n]=\begin{}0 & n < 0\\1 & n \geq 0\end{}\]
结果如下：
\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{- 3}+\ …\]
无限序列的数字相加可以收敛为一个数字。例如：
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ …\ =2\]
如果我们按照相同的模式继续序列并对所有元素求和，当元素数量接近无穷大时，总和接近数字 2。通过 z 变换，元素包含一个变量，但仍然可以发生收敛 -序列收敛为变量表达式而不是数字。
上面显示的单位步骤的序列收敛如下：
\[X(z)=\sum_{n=0}^\infty u[n]z^{-n}=z^0+z^{-1}+z^{-2}+z^{- 3}+\ …=\frac{z}{z-1}\]
并非所有 z 变换都会收敛。以下是具有“良好行为”z 变换的离散时间信号的示例；请注意，所有这些 x[n] 函数都乘以单位步长，以便 z 变换运算应用于 n < 0 时为零的序列。
\[x[n]=nu[n]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(z)=\frac{z}{(z-1)^2}\]
\[x[n]=a^nu[n]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(z)=\frac{z}{za}\]
\[x[n]=\sin(\omega n)u[n]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(z)=\frac{z\sin(\omega)}{z ^2-2z\cos(\omega)+1}\]
