在量子力学的框架中，Bloch波代表了一种“工具”，该工具使我们通过相应的特征值重建不仅表征金属，而且还表征半导体和半学分的能量带。但是，为了更大程度地遵守物理现实，我们必须考虑波数据包，即Bloch波的叠加。
为了避免计算中不必要的并发症，让我们像往常一样考虑我们的玩具模型，即一个一维晶格，其中包含周期A的周期性势能场V（x），后者是晶格的音调。在极限情况下，V（x）= 0我们有自由电子，量子力学告诉我们，能量本征函数是写入的（多达到归一化因素）：
其中k是波数。在任何时候，单电子波函数都写入：
电力电子的科学笔记：电子波的群体延迟
让我们立即注意到，公式（2）描述的量子机械状态不是“局部”状态。更确切地说，由于X轴和给定的瞬间的给定点，无法定义电子定位的概率，因为正方形模块的积分延伸在整个真实轴线上。通过使用Dirac Delta函数，通过断言它是一个扩散过程来重新解释结果，即电子来自-∞，转到 +∞。从数学上讲，公式（2）中类型的对象称为不当特征（能量）。
但是，有一个数学上的技巧使我们能够对局部状态使用方程（2）：足以将这些波利用在无穷大迅速消失的调制包膜中，以使上述积分融合。想到的个功能是高斯人，也是因为它在傅立叶变换下是不变的。因此，很好地表示粒子的波函数是波数据包：
电力电子的科学笔记：电子波的群体延迟
其中a（k ）是初始配置文件ψ（x， 0）的傅立叶变换;如果后者是由以x 0为中心的高斯包围的正弦振荡，则其傅立叶变换a（k）又是一个以k 0为中心的高斯，为k 0（初始剖面的正弦振荡的数量）。有关数学细节，请参见参考书目2。
在进行继续之前，我们必须了解称为分散定律的功能ω（k ）的物理含义。为此，我们观察到波数据包是单色波的线性叠加。通过这种表达，我们指的是正弦振荡，该振荡具有同样的正弦定律在太空中传播的。因此，我们有两个特征数量：时间频率为频率ν和空间中的周期λ（波长）。
在真空中电磁波的情况下，这两个数量由λ= c/ν= ct连接，其中t是时间的振荡周期，C是真空中的光速。这种关系只是告诉我们，对于真空中的电磁波，波长是时间t的空间。如果我们现在叠加几个单色波或组成波数据包，我们会发现单个组件以相同的速度c传播。
从数学角度来看，以波数k =2π /λ和角频率ω = 2πν表示先前的关系很方便，获得了简单的线性关系ω（k）= ck。但是，我们看到在de Broglie波的情况下，ω（k）是二次的。因此，单个单色组件并非都以相同的速度传播。这是分散法的含义。无论如何，如果| a（k）|在波数k 0周围极高的峰值可以通过截断为一阶的泰勒序列膨胀来线性化函数ω（k）。这种情况使我们能够定义一个在k 0中计算出的ω（k）的衍生物给出的组速度v g ，该衍生物小于相速度v p = ω（k）/k。
也就是说，沿着de Broglie数据包的线路（3），我们可以编写Bloch数据包的波函数，回想起现在能量的特征函数是：
因此：
这是一个非常复杂的物体。为简单起见，我们可以参考调制包膜不取决于波数k的特定定期电势（直到降低的普朗克常数）是晶体动量。具有明显的符号含义：
因此，如果调制包膜不依赖于K，则Bloch波数据包是Broglie Wave Packet a振幅调制的DE Broglie波数据包，其周期函数的周期函数等于光栅螺距。
因此，对于上述周期电位类别，我们可以将自己限制在研究Broglie数据包的传播中，并使用以下处方：ω（k ）在K中不再是Quadratic ；例如，对于玩具模型，我们找到了k的余弦函数。通常，这是正确的：物理空间中晶格的周期性转化为k空间中的周期性，使我们能够定义个布里鲁因区域或周期性的基本间隔。
因此，我们的定律比描述自由颗粒行为的简单二次依赖性要复杂得多。但是，如果ω（k）没有猛烈变化，我们仍然可以以截断为一阶的泰勒级数进行开发。这使我们能够定义一个组速度，该速度并不是能量传输发生的速度，因为在状态ψbloch （x，t ）中未定义可观察到的速度（这是能量特征的叠加）。这是能量的期望值，即，在相同系统的假设集合上执行的统计平均值，该系统以组速度运输。
在图1和图2中，我们分别了Broglie波数据包和Bloch波数据包的传播。
让我们回忆起，只有在允许忽略ω（k）功率序列扩展中的个中的订单条款的情况下，这些结果才有效。否则，不可能定义波数据包的组速度。，让我们注意到，在描述自由粒子的情况下，发现了始终发现波函数计算的解决方案。在这里，不必串联扩展ω（k），并且可以定义组速度，因为初始剖面的傅立叶变换在给定的k 0围绕在给定的k 0上。
因此，必须在k 0中计算ω（k ）的导数；确切的解决方案返回以下结果：波数据包倾向于“扩展”随时间的函数，因此我们知道粒子的腹部X的不确定性会增加。但是，不确定性存在于初的特征中，这是海森伯格不确定性原理的结果。在任何情况下，高斯数据包都具有特殊性：初始轮廓是的不确定性，因为与位置和动量有关的不确定性的产物假定值。
在进化更复杂的情况下，发生了所谓的散射，这是由于单个单色组件以不同速度传播的事实，这种现象是一种现象。
图1：带有高斯调制信封的de de de broglie波包的传播
图2：Bloch波数据包的传播
耗散效应 - 群体延迟
在理解了Bloch波数据包的进化动力学之后，如De Broglie数据包（对于某些定期势能的一类周期电势）而言，它可以还原，我们可以考虑通过与晶格的相互作用确定的耗散效应。通常，为了使波浪的随之而来的衰减，波函数乘以指数阻尼因子。但是，这种选择并未现实地再现耗散动力学，因为组成数据包的所有波都会经历相同的衰减。因此，定义基于每个组件的波K数的阻尼因子。
此外，由于该阶段在量子力学（特别是单个组件之间的相对相）中起着基本作用，因此，对于更可靠的描述，定义一个复杂的阻尼系数，然后可以以极性形式表达，从而产生到极性。相位因子取决于波数k。换句话说，我们通过衰减和单个单色组件的相移来描述数据包的衰减。如果ω（k）和相对相φ（k）不会围绕主要波数K0剧烈变化，则我们可以在泰勒级数中开发这些功能，然后在阶结束时停止发展。
该过程返回一个有趣的结果：分散效应产生一个特征数量，如所见，该数量是组速度V g ，而耗散效应由特征长度λ0描述。上述效应的组合给出了一个特征时间t 0，该时间由复合函数的推导规则表示。简而言之，t 0是以ω0 = ω （k 0 ）计算的φ（ω ）的衍生物。波函数的分析表达是（由于它是正弦振荡的时间，我们将相位的相位放在整个积分之外，而b（k）是阻尼成分的幅度）：
由此，我们看到传播被因子T0延迟，我们将其称为组延迟或过境时间。但是，没有什么可以阻止我们猜测函数φ（ω）在ω0中降低的晶格的存在，因此t0 <0。在这种情况下，t 0是一个负组延迟或同一件事，群体会提前。在光子的特殊情况下，我们了一个有趣的观察结果3：存在“带隙”光学设备，它实际上反映了狭窄频率范围的所有入射电磁辐射。即使传播高斯脉冲的质心出现在真空中的过境时间之前，也不会违反因果关系。
