RF 系统中的失配损耗和失配不确定性

信号反射是 RF 系统中常见的现象，可以降低到达负载的功率。在设计 RF 块的级联时，波反射可能导致不确定级联在终设计中将展示多少功率增益。为了更好地理解这一点，让我们回顾一下失配损耗 (ML)，这是表征由波反射引起的功率损耗的参数。

失配损失公式

当传输线的输入和输出端口都连接到不匹配的阻抗（Z s  ≠ Z 0 和 Z L  ≠ Z 0）时，输入提供的一部分功率在输入和输出端口之间来回反弹（图1）。

图 1. 显示传输线的输入和输出端口由不匹配阻抗连接的示例。

这种波反射导致功率损失，其特征在于 ML 参数，如公式 1 所示。

ML=|1?Γ1Γ2|2(1?|Γ1|2)(1?|Γ2|2)ML=|1?Γ1Γ2|2(1?|Γ1|2)(1?|Γ2|2)

等式 1。

在许多应用中，Γ 1 和Γ 2的相位角 是未知的。在这些情况下，我们只能找到 ML 的上下界来确定功率传输不确定性的范围。等式 2 和 3 分别显示了 ML 的上限和下限。

\[ML_{max} = \frac{|1+ | \Gamma_1 \Gamma_2||^2}{\big ( 1-|\Gamma_1|^2 \big )\big ( 1-|\Gamma_2|^2 \big )}\]

等式 2。

\[ML_{min} = \frac{|1- | \Gamma_1 \Gamma_2||^2}{\big ( 1-|\Gamma_1|^2 \big )\big ( 1-|\Gamma_2|^2 \big )}\]

等式 3。

以分贝表示这两个方程式并找出差异会得出不确定性范围，如方程式 4 所示。

$$MU=20log(1+|{\Gamma }_1{\Gamma }_2|)?20log(1?|{\Gamma }_1{\Gamma }_2|)$$

等式 4。

该不确定性范围在 RF 文献中称为失配不确定性 (MU)。

失配损耗和不确定性示例 1：检查传输线效应

为了更好地理解上述概念，我们使用LTspice仿真图 1 中的电路，参数 Z S  = Z L  = 50 Ω 和 Z 0  = 75 Ω。LTspice 原理图如图 2 所示。

图 2.  LTspice 原理图示例。

传输线的传播延迟为 1 ns。这是一种表达传输线物理长度的便捷方法：波沿传输线长度传播所需的时间。接下来，我们将交流电源的频率从 10 Hz 扫描到 1 GHz，以找出负载电压和电流。使用此信息，我们可以找到负载中消耗的功率，其曲线图如图 3 所示。 

图 3. 显示负载中耗散功率的示例图。

在低频下，例如低于 10 MHz 的频率，传输线效应可以忽略不计，就好像负载直接连接到信号源一样。在这种情况下，输入电压的一半出现在负载两端 (V Load  = 0.5 V)，提供给负载的功率为：

$$P_{Load}=\frac{V_{Load}^2}{2Z_L}=2.5米W=?26.02\mathrm{分贝}W\_$$

这与上面的情节是一致的。当我们增加频率时，传输线效应就会显现出来。此外，反射系数的相位角（与阻抗不连续点的距离固定）随输入频率线性变化。因此，根据等式 1，我们预计耗散功率会随频率变化。如图 4 所示，使用线性 x 轴绘制功率曲线可以很好地说明这一点。 

图 4. 使用线性 x 轴显示功率曲线的示例图。 

随着输入频率的变化，耗散功率以循环方式上升和下降。曲线的个值出现在 500 MHz 处。您可能想知道：为什么我们有 500 MHz 的值？

在我们的示例中，入射波到达线路末端并反射回源的往返时间为 2 ns。另一方面，500 MHz 信号的周期也是 2 ns。因此，对于 500 MHz 信号，反射波与入射波同相相加，使功率传输化。

请注意，在这个直观的解释中还应考虑反射系数的相位角。但是，在我们的示例中，反射系数是负实数值 (Γ 1 = Γ 2  = -0.2)，可实现 500 MHz 的相长干涉。

考虑到这一点，公式 1 及其限制与图 4 中的曲线有何关系？MU（公式 4）是 ML 上限和下限之间的差值。因此，它为我们提供了负载功率的总变化。如果我们将 Γ 1  = Γ 2  = -0.2 代入公式 4，则失配不确定性为 MU = 0.7 dB。这与图 4 中功率曲线的峰峰值变化一致。

参考功率对于失配损失很重要

我们在上面讨论过，方程式 1 表征了阻抗不连续引起的功率损耗。此描述未提供重要信息：我们期望系统在没有失配引起的功率损耗（ML = 1 或 0 dB）时提供给负载的参考（或功率）。换句话说，我们不知道计算损失项的参考功率。如果您仔细推导公式 1，您会注意到参考功率是可从源 P AVS获得的功率。电源可用的功率是电源传送到共轭匹配负载的功率。这发生在 Γ 2  = Γ 1时*，其中 * 表示复数共轭运算。当 ML 以线性项（而不是分贝）表示时，P AVS 与输送功率 P Load之间的关系 由公式 5 给出。

$$P_{Load}=\frac{P_{AVS}}{ML}$$

等式 5。

请注意，对于 Γ 2  = Γ 1 *，公式 1 得出 ML = 1。这意味着当负载共轭匹配时，损耗项消失 ML = 1（或 0 dB）。为了更好地理解这些概念，让我们检查另一个 LTspice 模拟。

失配损失和不确定性示例 2：使用 AC 分析

考虑下图 5 中的图表。

图 5.示例图 ，其中源阻抗和负载阻抗具有实部和虚部。 

在这种情况下，源阻抗和负载阻抗同时具有实部和虚部。我们可以使用 AC 分析来扫描输入频率并观察耗散功率的变化。然而，我们将在本例中使用另一种（实际上更有趣的）方法：我们将保持输入频率恒定，同时通过一系列值扫描传输线的延迟。在 198.943 MHz 时，40 nH 电感器的阻抗为 j50 Ω。我们将以这个频率检查电路，因为它会产生一些易于使用的数字。LTspice 原理图如图 6 所示。

图 6. 图 5 中示例的 LTspice 原理图。

请注意，传输线延迟被定义为参数（“延迟”）。使用.step 命令，“延迟”参数从 0.01 ns 到 5 ns 线性扫描，步长为 0.01 ns。此外，使用“列表”选项，交流分析仅在单一频率 (198.943 MHz) 下执行。AC 输入的幅度为 1 V，这在 AC 模拟中很常见。该模拟为我们提供了负载电压和电流。使用该信息，我们可以找到传输到负载的平均功率，如下面的蓝色曲线所示（图 7）。

图 7. 显示提供给负载的平均功率的图表。

此外，我们可以对 x 轴使用对数刻度，以更好地观察延迟值非常小的电路响应。如图 8 所示。

图 8. 使用 x 轴的对数刻度绘制电路响应。

现在让我们使用我们的方程式来验证上述曲线。在此之前，我们需要找到感兴趣频率 (198.943 MHz) 下的等效电路。在此频率下，一个 40 nH 的电感器具有 j50 Ω 的阻抗，导致图 9 的下图。 

图 9. 具有相关频率 (198.943 MHz) 的等效电路示例图。

个问题是：为什么负载功率会随着线路延迟而变化？从下面的公式 6 可以看出，线路负载端的负载反射系数 (Γ 2 ) 在给定频率下是恒定的：

$${\Gamma }_2=\frac{Z_L?Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{(50+j50)?75}{(50+j50)+75}=0.415\angle {94.76}^{°}$$

等式 6。

然而，即使是无损线路，反射系数的相位角也会沿着线路发生变化。这种相位角的变化决定了入射波和反射波是否会在线路的源端发生相长干涉或相消干涉。通过扫描传输线的延迟，反射系数的相位角会发生变化，因此传输到负载的功率也会发生变化。

下一个问题：在传输线效应可以忽略不计的情况下，以非常小的延迟值传输多少功率？图 8 显示，对于小于大约 0.03 ns 的延迟，负载功率几乎是恒定的。在此延迟范围内，传输线效应几乎可以忽略不计，就好像负载直接连接到信号源一样（图 10）。

图 10. 显示直接连接到电源的负载的图表。

使用基本电路理论概念，您可以验证上述电路提供给负载的平均功率为 0.77 mW 或 -31.13 dBW。这与图 8 一致。电源可以提供给共轭匹配负载的功率是多少？对于 Z S  = 100+j50的源阻抗，可使用公式 7 计算 1 V 电源的可用功率。

$$P_{AVS}=\frac{V^2}{8R_S}=\frac{1^2}{8\times 100}=1.25米W=?29.03\mathrm{分贝}W\_$$

等式 7。

这是电源可以为共轭匹配负载提供的功率。在我们的电路中，负载不是源阻抗的共轭，因此，耗散功率始终低于 P AVS  （图 7 中的红色曲线）。使用等式 2 和 3，我们可以找到失配损失的限制。我们首先需要使用等式 8 找到 Γ 1  。

$${\Gamma }_1=\frac{Z_S?Z_0}{Z_S+Z_0}=\frac{(100+j50)?75}{(100+j50)+75}=0.307\angle {47.49}^{°}$$

等式 8。

将 Γ 1 和 Γ 2代 入等式 2 和 3 得到 ML min  = 0.07 dB 和 ML max  = 2.29 dB。从可用功率 (-29.03 dBW) 中减去这些值可以得到传输功率的值和值 P L, max  = -29.1 dBW, P L,min  = -31.32 dBW。这些值也与图 7 中功率曲线的值和值一致。

失配损耗方程和功率损耗

失配损耗方程使我们能够表征由于传输线输入和输出端口处的波反射而损失了多少源功率。通过研究两个例子，我们试图展示失配损失方程的微妙之处。本文中讨论的方程式给出了相对于电源可用功率的功率损耗。应该注意的是，还有另一个常用的失配损耗方程，其参考功率是源可以提供给 Z 0端接负载而不是共轭匹配负载的功率。