变压器电磁场问题的自适应有限元分析

　　摘要：介绍了变压器电磁场问题的自适应有限元分析方法和开发的计算机分析程序，并用计算实例验证了方法和程序的正确性。

　　1 引言

　　变压器性能参数及结构的优化与电磁场分布密切相关。由于材料种类的多样性和结构的复杂性，变压器的电磁场分析一般只能通过数值分析方法进行。在各种数值分析方法中，有限元方法以其良好的适应性在变压器电磁场分析中获得了广泛的应用。

　　与解析方法求解出确定解不同， 有限元方法在求解不同问题时，需要生成不同的网格，并且对于计算结果也需要针对不同问题而采取不同的评价方法。因此， 进行有限元分析通常要求工程师具有较高的理论知识和丰富的实践经验， 这就限制了其在变压器设计中的普遍应用。如采用自适应有限元分析，可通过反馈控制过程实现网格剖分的自动优化及有限元计算结果误差的有效控制，如图1 所示，从而极大地降低了有限元分析的难度， 使有限元分析方法在变压器设计中的普及应用成为可能。

图1 自适应有限元分析的反馈控制系统流程图

　　后验误差估计、加密网格生成及自适应迭代控制是自适应有限元分析的关键环节。笔者结合变压器静电场、静磁场和传导电流场及涡流场的特点，对自适应有限元分析的三个关键环节进行了深入和系统地探讨， 提出了满足变压器电磁场分析需要的一系列算法并开发了计算机程序。并且笔者也对变压器电磁场问题的实际举例进行了计算， 计算结果验证了方法和程序的正确性和有效性。

　　2 后验误差估计方法及自适应迭代过程控制

　　2.1 后验误差估计方法。

　　图1 中， 后验误差估计是自适应有限元分析的环节。后验误差估计是指通过有限元分析结果来估计计算结果的误差。在自适应有限元分析中，后验误差估计起到两个方面的作用： ①通过单元误差分析来指引网格加密直至终生成化网格；②通过全局误差估计， 确定整体分析或某个关注变量的计算准确度，从而确定是否结束分析过程。对于非结构化网格，后验误差估计方法主要有平均法、余量法和互补法。余量法和互补法需要求解局部或对偶边值问题，计算量大，编程复杂。平均法又称恢复法，其计算单元后验误差估计的基本步骤如下：

　　（1）首先根据单元场强解通过单元片上的某种插值或拟合运算，计算（恢复）出节点上的场强值。

　　（2）采用与有限元分析相同的插值函数计算（恢复）出单元上的场强值，该场强值与有限元分析直接计算结果的差值的某种范数（一般采用能量范数）即为该单元的后验误差估计。

　　本文中笔者重点研究了平均法在变压器电磁场分析中的应用。平均法的基本计算公式为：

　　式中：

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