傅立叶相关的变换

　　离散余弦变换（discrete cosine transform，DCT）和离散正弦变换（discrete sine transform，DST）虽然不是DFT，但可以用DFT计算。不过DCT和DST不能直接通过乘以变换的频谱和反变换来计算快速卷积，也就是卷积理论不成立，所以DOT和DST不像FFT一样得到广泛的应用，但是在图像压缩等一些应用领域中，DOT是非常流行的（因为它们与Kahunen-Loev6变换非常接近）。由于DCT和DST是根据正弦和余弦“核函数”定义的，与DFT有着密切的关系，所以将在本章加以介绍。首先讨论DOT的DST的定义和属性，然后给出实现DOT的类似FFT的快速计算算法。所有的DCT都遵循下面的变换模式：

　　该模式是由Wang^[138]观察到的。4种不同DCT实例的核函数C^nk_N分别由

定义。其中除了c［0］＝1√2外，c［m］＝1。DST具有相同的结构，但是余弦项均由正弦项代替。DCT的属性如下：

　　（1）采用余弦基的DCT实现函数。

　　（2）所有的变换均是正交的，也就是C×C^t＝k［n］I。

　　（3）与DFT不同的是，DCT是一个实变换。

　　（4）DCT－I是其本身的逆矩阵。

　　（5）DCT－II是DCT－III的逆矩阵，反之也成立。

　　（6）DCT－IV是其本身的逆矩阵，IV是对称的，也就是C=C^t。

　　（7）DCT的卷积属性与DFT中的卷积乘法关系不一样。

　　（8）DOT是Kahunen－Loev6变换（KLT）的一种近似。

　　DCT－II的二维8×8变换在图像压缩（也就是视频的H．261、H．263和MPEG标准和静态图像的JPEG标准）中经常用到。由于二维变换是分成二维的，所以我们可以先计算行变换再计算列变换，或者反之也可以。这样我们就可以只集中考虑一维变换的实现。

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