信号与系统的数学表达

　　离散时间的信号和系统在时域上可以用差分方程或离散时间变换来建模。变换特别是标准z变换，对设计和分析数字滤波器是极为重要的。连续时间滤波器到离散时间模型的转换关系可以用拉普拉斯变换和延时定理来推导，其中延时定理表明，如果x（t）→＋X（s），那么x（t＋τ）→e-stx(s)。将其中的复指数用z＝esτ来代替，则可简化符号表示，这样得到的就是所谓的z变换。因果时间序列的z变换可以规范地表示为

　　z反变换将z变换X（z）映射为离散时间序列x[k]。z变换求逆的标准方法叫做部分分数或Heaviside展开。

　　另一个重要的z变换的工具是双线性z变换。双线性z变换通过下面的关系式与熟悉的拉普拉斯变换相联系：

　　应该认识到标准和双线性z变换的频率响应是不同的。标准z变换z＝酽是一个全通滤波器的频率响应，它以∫＝点为中心重复其自身。而双线性彩变换频率响应为

　　式中，Ω是以rad／s为单位的模拟频率；而ω是相应的数字域频率，其单位也是rad／s。由式（12．17）建立的频率关系可以简化为

　　式中，几是模拟频率；fd是对应的数字频率。模拟和数字频率之间的非线性关系称为畸变（warplng），畸变曲线如图所示。

　　图 双线性z变换中连续频率轴（记为Ω）与离散频率轴（记为ω）间的关系