频率对电路阻抗的影响
　　图 1(a) 所示的串联 RLC 电路的阻抗为
　　Z=R+j(XLXC)(1)

　　或者　Z=√R2+X2∠tan?1(XR)　

 　由于 X L =2πfL 且 X C =1/(2πfC)，因此电路的实际阻抗取决于交流电源的频率，如图 1(b) 所示。图 2 显示了 jX L 和 -jX C值与电源频率的关系图。可以看出，由于 X L 与频率成正比，因此感抗 会随着频率的增加从零开始线性增加。但是，容抗与频率成反比，在低频时，X C 无穷大。随着频率的增加，X C从无穷大迅速减小，但永远不会变为零。如图所示，得到的 (-jX C ) 与频率 的关系图是曲线。

　　（a）带有可变频率源的串联 RLC 电路。

　　（b）X L 和 X C 随电压源的频率而变化。

　　图 1. 在具有可变频率源的串联 RLC 电路中，X L在特定频率（称为谐振频率）下 等于 X C。 电路阻抗等于 R。图片由 Amna Ahmad 提供

　　图 2.串联 RLC 电路的+jX L 和 -jX C与频率的 关系图表明，在特定频率 (f r ) 下，X L = X C，因此 (X L = X C ) = 0。频率 f r 称为电路的谐振频率。图片由 Amna Ahmad 友情提供
　　串联 RLC 电路的总电抗为 (X L - X C )，该量的图形如图 2 中的虚线所示。在低频下，很明显 X L比 X C 小得多，因此总电抗主要是电容性的。在较高频率下，X L比 X C 大得多，总电抗主要是电感性的。在 图上标记为 f r 的一个频率下，X L 和 X C在数值上相等。因此，串联 RLC 电路在 f r 处的阻抗 变为
　　Z=R+j(XL?XC)=R+j(0)
　　或者
　　Z=R
　　当发生这种情况时，电路就处于电谐振状态，X L 等于X C的频率 称为谐振频率（f r）。
　　串联 RLC 电路的谐振频率定义为 X L =X C时的频率。
　　再次参考图 2，可以看出，在高于和低于谐振频率的频率下，电抗 (X = X L - X C ) 具有较大的值，该值要么是电感性的，要么是电容性的。因此，当绘制电路阻抗 (公式 1) 与频率的关系图时，会发现阻抗在高于和低于谐振频率时具有较高的值，而在谐振时，阻抗会下降到其值 Z = R [见图 3(a)]。
　　串联 RLC 电路在谐振频率处具有阻抗。
　　谐振电流

　　串联 RLC 电路中的电流由以下公式确定　I=ER+j(XL?XC)(2)　　

   或者

　|I|=E√R2+(XL?XC)2
　　其中 I 是电流的数值，与相位角无关。因此，在谐振时，当 X L =X C时，电流方程变为　I=ER
　　图 3(b) 显示了串联 RLC 电路的典型电流与频率图。电流在高于和低于谐振频率时，但在谐振时随着阻抗降至而急剧上升。电流/频率图有时被称为电路的频率响应曲线。
　　相位角

　　从图 2 可以看出，串联 RLC 电路的阻抗在远低于谐振频率的频率下主要是电容性的。这意味着电路电流比施加的电压超前约 90° 的相位角。相反，由于阻抗在远高于谐振频率的频率下主要是电感性的，因此高于谐振频率的电流的相位角约为 -90°。串联 RLC 电路的相位角与频率的关系图（如图 3(c) 所示）显示在低频下超前 90° 的相位角，在谐振频率下变为 0°，在 f r以上变为滞后 90° 的相位角。

　　（a）阻抗与频率的关系图

　　（b）电流与频率的关系图

　　（c）电流相位角与频率的关系图
　　图 3. 串联 RLC 电路的阻抗、电流和相位角与频率的关系图。由于 Z=R+j(X L -X C )，阻抗在 f r 处下降到 R，电流达到峰值。电流相位角在 f r处为零，在 f r以下超前，在 f r 以上滞后。图片由 Amna Ahmad 友情提供
　　共振频率
　　发生共振的频率可以通过将 X L和 X C相等来轻松计算：
　　

XL=2πfrL

XC=12πfrC

　　所以

   2πfrL=12πfrC

　　给予
r=12π√LC(3)　　

  当 L 和 C 分别以亨利和法拉为单位时，公式 2 得出以赫兹为单位的 f r  。

　　示例 1
　　确定图 4 中串联 RLC 电路的谐振频率。同时计算 0.25f r、0.5f r、0.8f r、f r、1.25f r、2f r和 4f r处的电路电流。绘制以对数为底的电流与频率的关系图。
　　解决方案

　　等式 3fr=12π√LC=12π√85μH×298pF=1MHz　

  　等式 2

　　|I|=E√R2+(XL?XC)2

　　图 4. 示例 1 的电路。图片由 Amna Ahmad 提供
　　图 5 中的电流与频率图清楚地表明，电流在谐振频率处上升到值，而在谐振频率以上和以下的频率处急剧下降。从表中可以看出，当频率从 250 kHz 加倍到 500 kHz 时，电流从 5 mA 增加到 12.4 mA。还要注意，在谐振频率以上，当频率从 2 MHz 加倍到 4 MHz 时，电流从 12.4 mA 降至 5 mA。对于谐振频率以上和以下的其他频率变化，同样类型的相应电流比是显而易见的。可以看出，电流与频率的比率是对数的，因此图表上使用对数频率刻度。
　　图 5. 串联 RLC 电路的电流与频率（以对数为底）的关系图。电流在谐振频率处急剧上升。图片由 Amna Ahmad 提供
　　谐振电压上升
　　串联 RLC 电路中电阻两端的电压为 V R =IR，谐振时 V R 等于电源电压（见图 6(a)）。如图所示，电容和电感电压为：
　　VC=IXC(4)
　　和
　　VL=IXL(5)
　　当计算出不同频率下的电容电压和电感电压并绘制成对数频率刻度时，会发现 V C 和 V L 频率响应曲线的形状与电路电流与频率的关系图相似。还发现
　　谐振时的V L 和 V C 可以比电源电压高几倍。
　　这种效应称为共振电压上升。
　　图 6(b) 表明，谐振时 V L和 V C的波形 相位相反。因此，V L 和 V C的瞬时电平 相互抵消，所有电源电压都出现在 R 上。
　　（a）谐振时的电路和电压
　　（b）电感和电容电压波形
　　图 6. 在串联 RLC 电路中，谐振频率 V R =E，V L和 V C 大于 E。V L 和 V C 相位相反。图片由 Amna Ahmad 提供
　　示例 2
　　对于图 6 中的串联 RLC 电路（与示例 1 相同），确定每个频率下的电容和电感电压。此外，绘制 V R、 V C和 V L 与频率的关系图。
　　解决方案
　　VC=IXC且VL=IXL且VR=IR
　　将每个频率的数量列出，并在图 7 中绘制了图表。从图中可以看出，在谐振频率以下，V C >V L  ；在谐振频率以上，V L >V C  。

　　示例 2 表明，在谐振时，电容器和电感器两端的电压远大于电源电压。电阻两端的电压 (V R ) 当然与电路电流同相，而 V L 超前电流 90°，V C 滞后电流 90°。图 8(a) 中的相量图说明了这一点。从相量图中可以清楚地看出，V L 和 V C 在谐振时相互抵消，电源电压施加在电阻两端。

　　图 7.串联 RLC 电路的 电容电压 V C、电感电压 V L和电阻电压 V R与频率（以对数为底）的关系图。在谐振频率下，V C 和 V L 变得远大于电源电压。图片由 Amna Ahmad 提供

　　（a）谐振时串联 RLC 电路的相量图。

　　（b） 谐振时V L、 V C 和 V R的波形。
　　图 8. 谐振时串联 RLC 电路的电压相量图和波形。V C 和 V L 相互抵消，V R等于电源电压，电流与电源电压同相。图片由 Amna Ahmad 友情提供
　　L和C之间的能量转移
　　图 8(b) 显示了谐振频率下的 V L、 V R和 V C的波形 。显然，随着 V L 正向增长，V C 负向增长，反之亦然。V L的正峰值与 V C 的负峰值同时出现，而 V C的正峰值 在时间上与 V L的负峰值相对应。另外，请注意，电阻两端的正电压峰值和负电压峰值与 V L 和 V C 为零的时刻相吻合。从这些波形中得出的信息是，能量存储在谐振电路中。能量以谐振频率连续地从电感器传输到电容器并再次传输回。对于所涉及的电容器和电感器的特定值，谐振频率是这种能量传输可以发生的频率。但请注意，只有当有谐振频率的能量输入时，无功元件之间的能量存储和能量传输才会发生。
　　确定共振频率的要点
　　当串联 RLC 电路的交流电源电压频率发生变化时，在特定频率下 X L  = X C。 两个电抗抵消，结果是电路的串联阻抗具有值 Z=R。电路处于谐振状态。发生这种情况的频率是谐振频率。由于阻抗，串联电流，并且 L 和 C 之间产生的电压上升。