你的电阻器实际上会产生多少噪音？

　　电子电路噪声的入门课程通常首先阐述电阻器开路噪声电压的以下公式：

　　公式 1 中，k = 1.3806 x 10 -23 [J/K] 为玻尔兹曼常数，T 为开尔文温度，R 为电阻值，单位为 Ω。
　　图1 公式解释E N,RMS = √4 kTR·BW

　

　　让我们通过图 1进一步解释公式 1。E N ,RMS 是理想 RMS 测量电压表在具有以下特性时指示的电压：
　　输入阻抗等于无穷大
　　无内部噪音产生
　　幅度特性如图 1 所示，其带宽（Hz）等于：BW = f h – f l

　　您可能会说这需要满足很多条件；没错，但让我们把事情变得更现实一些。首先，我们要测量的电压很小，所以我们肯定要引入一些放大，比如电压增益为A 而不是 1。然后我们的仪表会显示：

　　此外，砖墙特性是不可能实现的，因为可以证明这种过滤器是非因果的。所以让我们用可实现的滤波器特性替换它，如图2所示。

　　图 2可实现滤波器的公式E N,RMS 解释

　　如果我们仅考虑无穷小的带宽d f ，这与应用带宽为d f且放大率为|H(jω)|的砖墙滤波器相同 ，则公式3转换为：

　　数量

　　称为噪声等效带宽（NEB ） 1。√4kTR称为 噪声电压密度，我们用时尚的ε来表示它，以避免 与电压E 本身混淆。所以我们也可以写成：

　　现在，让我们仔细看看公式 6。如果我们使用具有无限带宽的滤波器特性，会发生什么？您可能认为电阻两端的电压是无限的。当然，这在现实中不可能是真的。这里有什么问题？一种解释认为它源于量子现象。公式ε N,RMS = √4 kTR 不是完整的 公式， 它 只是一个近似值，实际上确切的公式是：

　　在公式 7 中，h = 6.6261 · 10 -34 [Js] 是普朗克常数。当f趋向 +∞ 时，因子p ( f ) 趋向于零，这将使ε N,RMS 的值保持 有限。让我们针对具有无限带宽的系统检查这一点：

　　幸运的是，上一行中的积分称为 Bose 积分，有一个已知的简洁解决方案

　　这表明，对于 1MΩ 电阻和 300K 温度，电压永远不会超过 0.41V。您还可以检查，只要频率低于 500 GHz，使用ε N ,RMS的两个公式计算出的E N ,RMS百分比差异 多为 1%。当然，您可能会争辩说，这样的频率在电子世界中是不现实的，但别忘了，如今已经建造了振荡频率高于 1THz 的电路2。
　　出于好奇，我检查了一些基于 Spice 的模拟器（我检查了其中的四个，三个），看看它们在这些频率下模拟噪声的效果如何。尽管它们在 10 THz 等极端频率下模拟得比较粗心，但我注意到它们都没有在这些频率下使用正确的电阻噪声模型。

　　即使这个解释是正确的，更注重实践的人可能会对量子现象的解释持怀疑态度。谁能责怪他们呢？已故的伟大人物理查德·费曼甚至说过：“如果你认为你理解量子力学，那么你就不懂量子力学。”因此，即使公式 7 解释了为什么你永远不会在电阻端子上得到无限大的电压，在实际电子电路中，还有两个因素将决定电阻的噪声贡献：电阻总是有一些寄生电容和/或带宽限制。寄生电容问题通常在电阻与电容并联时电压的 RMS 值的标准推导中处理：

　　次看到这个结果时，你会惊讶地发现，电压与电阻值无关。这个结果也可以通过量子力学来解释，参见约翰逊-奈奎斯特噪声。

　　然而，还有一种解释，大多数电子人士更喜欢这种解释，或者至少这种解释让他们相信这种结果：增加并联电阻会增加噪声，但系统的带宽会降低，因此总体结果保持不变。从数学上证明这一点并不难。然而，这是否意味着只有寄生电容很重要？不，因为电阻通常连接到电路中带宽有限的其他部分，所以寄生电容也起着作用。这种系统简单的例子是一个电阻与一个电容器并联，然后是一个一阶系统，如图3所示。

　　图 3 具有输入电容和一阶放大器的系统，其直流增益为A 0 ，带宽为BW

　　如果我们调用

　　然后我们可以得出噪声输出电压的公式：
　　公式 8 可帮助您确定输入电容（或输入时间常数）和放大器带宽对输出端噪声电压的影响。请注意，当

　　结果简化为：

　　这并不奇怪。当

　　我们得到结果：

　　出于实际目的，我们终可以推断出以下经验法则：当一个时间常数至少比另一个时间常数小 10 倍时，通过忽略较小的时间常数，我们将产生小于 5% 的误差。