有源滤波器的设计

二阶滤波器也称为 VCVS 滤波器，因为运算放大器用作电压控制电压源放大器，是另一种重要的有源滤波器设计类型，因为与我们之前看到的有源一阶 RC 滤波器一起，更高阶滤波器电路可以使用它们来设计。

在此模拟滤波器部分教程中，我们研究了无源和有源滤波器设计，并发现只需在输入或反馈路径中使用额外的RC网络，即可将一阶滤波器轻松转换为二阶滤波器。那么我们可以简单地将二阶滤波器定义为：“两个一阶滤波器级联放大”。

大多数二阶滤波器的设计通常以其发明者的名字命名，常见的滤波器类型是：Butterworth、Chebyshev、Bessel和Sallen-Key。所有这些类型的滤波器设计都可用作：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻（陷波）滤波器配置，并且作为二阶滤波器，均具有每十倍频程 40 dB 的滚降.

Sallen-Key 滤波器设计是广为人知和流行的二阶滤波器设计之一，只需要一个用于增益控制的运算放大器和四个无源 RC 组件即可完成调谐。

大多数有源滤波器仅由运算放大器、电阻器和电容器组成，其截止点是通过使用反馈实现的，无需使用无源一阶滤波器电路中使用的电感器。

二阶（双极）有源滤波器，无论是低通还是高通，在电子学中都很重要，因为我们可以使用它们来设计具有非常陡峭滚降的高阶滤波器，并通过将一阶和二阶滤波器级联在一起，模拟滤波器具有在合理范围内， n阶值（奇数或偶数）可以构造为任意值。

二阶低通滤波器

二阶低通滤波器易于设计并广泛用于许多应用中。Sallen-Key 二阶（双极）低通滤波器的基本配置如下：

二阶低通滤波器

这个二阶低通滤波器电路有两个 RC 网络，R1 – C1和R2 – C2，它们赋予滤波器频率响应特性。滤波器设计基于非反相运算放大器配置，因此滤波器增益A始终大于 1。此外，运算放大器具有高输入阻抗，这意味着它可以轻松地与其他有源滤波器电路级联提供更复杂的滤波器设计。

The normalised frequency response of the second order low pass filter is fixed by the RCnetwork and is generally identical to that of the first order type. The main difference between a 1st and 2nd order low pass filter is that the stop band roll-off will be twice the 1st order filters at 40dB/decade (12dB/octave) as the operating frequency increases above the cut-off frequency ?c, point as shown.

Normalised Low Pass Frequency Response

上面的频率响应波德图与一阶滤波器基本相同。这次的不同之处在于阻带中的滚降陡度为 -40dB/decade。然而，二阶滤波器可以表现出多种响应，具体取决于截止频率点处的电路电压放大系数Q。

在有源二阶滤波器中，通常使用阻尼因子ζ (zeta)，它是Q的倒数。Q和ζ均由放大器的增益独立确定，因此随着Q 的降低，阻尼系数会增加。简而言之，低通滤波器本质上始终是低通滤波器，但会在截止频率附近出现谐振峰，也就是说，由于放大器增益的谐振效应，增益会迅速增加。

那么品质因数Q表示该共振峰的“峰度”，即它在截止频率点? C附近的高度和窄度。但是滤波器增益也决定了它的反馈量，因此对滤波器的频率响应有显着影响。

通常为了保持稳定性，有源滤波器的增益不得超过 3，表示为：

品质因数，“Q”

然后我们可以看到，非反相放大器配置的滤波器增益A必须介于 1 和 3 之间（阻尼系数ζ介于 0 和 2 之间）。因此，较高的Q值或较低的ζ值会产生更大的响应峰值和更快的初始滚降速率，如图所示。

二阶滤波器幅度响应

二阶低通滤波器的幅度响应随阻尼因子ζ的不同值而变化。当ζ = 1.0或更大（2 是值）时，滤波器变成所谓的“过阻尼”，频率响应显示一条长而平坦的曲线。当ζ = 0时，滤波器输出在截止点处急剧达到峰值，类似于滤波器被称为“欠阻尼”的尖锐点。

然后在ζ = 0和ζ = 2.0之间的某处，必须有一个频率响应具有正确值的点，并且存在。这是滤波器处于“临界阻尼”状态并在ζ = 0.7071时发生的情况。

要注意的是，当反馈量达到 4 或更多时，由于共振效应，滤波器开始在截止频率点自行振荡，从而将滤波器变为振荡器。这种效应称为自振荡。然后对于低通二阶滤波器，Q和ζ 都起着关键作用。

我们可以从上面的一阶滤波器（红线）的归一化频率响应曲线中看出，通带增益保持平坦和水平（称为平坦），直到频率响应达到截止频率点，此时：? = ?r和滤波器的增益降低超过其转角频率1/√ 2或其值的0.7071 。该点通常称为滤波器的-3dB 点，对于一阶低通滤波器，阻尼因子将等于 1 (  ζ = 1  )。

然而，这个 -3dB 截止点对于二阶滤波器将处于不同的频率位置，因为更陡峭的 -40dB/decade 滚降率（蓝线）。换句话说，转角频率?r随着滤波器阶数的增加而改变位置。然后将二阶滤波器 -3dB 点带回与一阶滤波器相同的位置，我们需要向滤波器添加少量增益。

因此，对于 Butterworth 二阶低通滤波器设计，增益量为：1.586，对于 Bessel 二阶滤波器设计：1.268，对于 Chebyshev 低通设计：1.234。

二阶滤波器示例 No1

二阶低通滤波器将围绕同相运算放大器设计，在其截止频率确定电路中具有相等的电阻和电容值。如果滤波器特性给定为：Q = 5和?c = 159Hz，设计一个合适的低通滤波器并绘制其频率响应。

给出的特性：R1 = R2、C1 = C2、Q = 5和?c = 159Hz

从上面的电路我们知道，对于相等的电阻和电容，截止频率点?c给出为：

为电阻选择一个合适的值，比如10kΩ ，得到的电容值计算如下：

然后对于159Hz的截止转角频率，R = 10kΩ和C = 0.1uF。

对于Q = 5的值，滤波器增益A计算如下：

从上面我们知道，非反相运算放大器的增益为：

因此，二阶低通滤波器的终电路为：

低通二阶滤波器电路

我们可以看到，由于高品质因数Q = 5，频率响应曲线的峰值在截止频率处非常尖锐。此时滤波器的增益为：Q × A = 14，或大约+23dB，与计算值 2.8 (+8.9dB) 有很大差异。

但是很多书，比如右边那本，告诉我们滤波器在归一化截止频率点等处的增益应该在-3dB点。通过将Q的值显着降低到0.7071的值，导致增益A = 1.586和频率响应在通带中平坦，在截止点处具有 -3dB 的衰减，与二阶巴特沃斯滤波器响应。

So far we have seen that second order filters can have their cut-off frequency point set at any desired value but can be varied away from this desired value by the damping factor, ζ. Active filter designs enable the order of the filter to range up to any value, within reason, by cascading together filter sections.

实际上，在设计 n 阶低通滤波器时，希望为一阶部分设置截止频率（如果滤波器的阶数为奇数），并为每个滤波器设置阻尼因子和相应的增益二阶部分，以便获得正确的整体响应。为了使低通滤波器的设计更容易实现，有源滤波器的ζ、Q和A值以表格形式提供，我们将在巴特沃斯滤波器教程中看到。让我们看另一个例子。

二阶滤波器示例 No2

设计一个非反相二阶低通滤波器，它将具有以下滤波器特性：Q = 1和?c = 79.5Hz。

从上面可以看出，滤波器的转角频率?c为：

为滤波电阻器选择一个合适的1kΩ值，然后得到的电容值计算如下：

因此，对于79.5Hz或 500 rads/s的拐角频率， R = 1kΩ且C = 2.0uF。

在给定Q = 1的情况下，滤波器增益A计算如下：

同相运算放大器电路的电压增益先前给出为：

因此，Q 为 1、拐角频率为 79.5Hz 的二阶低通滤波器电路为：

低通滤波电路

高通二阶滤波器

二阶低通滤波器配置和二阶高通滤波器配置之间几乎没有区别，改变的是电阻器和电容器的位置，如图所示。

高通二阶滤波器

由于二阶高通和低通滤波器是相同的电路，只是电阻和电容的位置互换，因此高通滤波器的设计和频率缩放过程与前面的低通滤波器完全相同。因此，二阶高通滤波器的波德图如下：

归一化高通频率响应

与之前的低通滤波器一样，阻带中滚降的陡度为 -40dB/decade。

在上述两个电路中，运算放大器电压增益 ( Av ) 的值由放大器反馈网络设置。这只会为滤波器通带内的频率设置增益。我们可以选择放大输出并将此增益值设置为适合我们目的的任何数量，并将此增益定义为常数K。

二阶 Sallen-Key 滤波器也称为正反馈滤波器，因为输出反馈到运算放大器的正极端子。这种类型的有源滤波器设计很受欢迎，因为它只需要一个运算放大器，因此相对便宜。