状态变量过滤器

状态变量滤波器使用三个（或更多）运算放大器电路（有源元件）级联在一起以产生单独的滤波器输出，但如果需要，也可以添加额外的求和放大器以产生第四个陷波滤波器输出响应。

状态变量滤波器是二阶 RC 有源滤波器，由两个相同的运算放大器积分器组成，每个运算放大器积分器充当一阶单极点低通滤波器，一个加法放大器，我们可以在其周围设置滤波器增益及其阻尼反馈网络。来自所有三个运算放大器级的输出信号被反馈到输入端，使我们能够定义电路的状态。

状态变量滤波器设计的主要优点之一是滤波器的所有三个主要参数，即增益 ( A )、角频率、? C和滤波器Q都可以独立调整或设置，而不会影响滤波器性能。

事实上，如果设计正确，低通振幅响应和高通振幅响应的 -3dB 转角频率 (  ?c  ) 点应该与带通级的中心频率点相同。即? LP(-3dB)等于? HP(-3dB)等于? BP(center)。此外，带通滤波器响应的阻尼系数 (  ζ  ) 应等于 1/Q，因为 Q 将设置为 -3dB (0.7071)。

尽管滤波器提供低通 (LP)、高通 (HP) 和带通 (BP) 输出，但此类滤波器电路的主要应用是作为状态可变带通滤波器设计，其中心频率由两个 RC 整数设置.

虽然我们之前已经看到带通滤波器的特性可以通过简单地将低通滤波器与高通滤波器级联在一起来获得，但状态可变带通滤波器的优点是它们可以被调整为具有高选择性（高 Q）提供在中心频率点的高增益。

有多种状态变量滤波器设计可用，所有设计均基于标准滤波器设计，同时提供反相和非反相变化。但是，两种变体的基本滤波器设计是相同的，如下方框图所示。

状态变量滤波器框图

然后我们可以从上面的基本框图中看到，状态变量滤波器具有三个可能的输出，V HP、V BP和 V LP，三个运算放大器各有一个。还可以通过添加第四个运算放大器来实现陷波滤波器响应。

在输入电压恒定的情况下，求和放大器的输出V IN产生高通响应，该响应也成为个 RC 积分器的输入。该积分器的输出产生带通响应，成为第二个 RC 积分器的输入，在其输出端产生低通响应。因此，可以找到每个单独输出相对于输入电压的单独传递函数。

因此，基本的非反相状态变量滤波器设计如下：

状态变量滤波电路

状态变量滤波器的三个输出的振幅响应如下所示：

状态变量滤波器的归一化响应

状态变量滤波器的主要设计元素之一是使用两个运算放大器积分器。正如我们在积分器教程中看到的那样，运算放大器积分器在其反馈回路中使用电容器形式的频率相关阻抗。由于使用电容器，输出电压与输入电压的积分成正比，如图所示。

运算放大器集成电路

为了稍微简化数学，这也可以在频域中重写为：

输出电压Vout是输入电压Vin对时间的积分的常数1/RC 。积分器产生一个相位滞后，减号 (  -  ) 表示 180 o相移，因为输入信号直接连接到运算放大器的反相输入端子。

在上述运算放大器A2的情况下，其输入信号连接到后续运算放大器A1的输出，因此其输入为V HP，其输出为V BP。那么从上面，运算放大器A2的表达式可以写成：

然后通过重新整理这个公式，我们可以找到反相积分器的传递函数A2

运算放大器 A2 传递函数

运算放大器 A3 传递函数

因此，两个运算放大器积分器A2和A3级联在一起，因此个 ( V BP ) 的输出成为第二个的输入。所以我们可以看到带通响应是通过集成高通响应创建的，低通响应是通过集成带通响应创建的。因此， V HP和V LP之间的传递函数为：

请注意，每个积分器级都提供反相输出，但求和输出将为正，因为它们是反相积分器。如果使用完全相同的R和C值，以便两个电路具有相同的积分器时间常数，则可以将两个放大器电路视为具有转角频率? C的单个积分器电路。

除了两个积分器电路，滤波器还有一个差分求和放大器，提供输入的加权求和。此处的优点是加法放大器A1的输入将振荡反馈、阻尼和输入信号组合到滤波器，因为所有三个输出都反馈到加法输入。

放大器求和电路

运算放大器A1接成加减法电路。也就是说，它将输入信号V IN与运算放大器A2的V BP输出相加，并从中减去运算放大器A3的V LP输出，因此：

由于运算放大器的差分输入+V和-V相同，即：+V – -V，我们可以重新排列上面的两个表达式以找到A1输出（高通输出）的传递函数。

从上面我们知道，V BP和V LP分别是两个积分器A2和A3的输出。将A2和A3的积分方程代入上式，可得状态变量滤波器的传递函数为：

状态变量滤波器传递函数

我们之前说过，状态变量滤波器会产生三个滤波器响应，低通、高通和带通，并且带通响应是非常窄的高 Q 滤波器的响应，这在上面的 SVF 传递函数中很明显，因为它类似于标准的二阶响应。

归一化二阶传递函数

滤波器角频率，? C

如果我们使积分器输入电阻器和反馈电容器相同，则可以轻松调整状态变量滤波器转角频率，而不会影响其整体Q。同样，可以在不改变转角频率的情况下改变Q的值。然后转角频率为：

状态可变滤波器转角频率

如果我们使反馈电阻R3和R4的值相同，则状态变量滤波器输出的每个滤波器的转折频率简单地变为：

然后只需改变调谐电阻器R或电容器C即可完成状态变量转角频率的调谐。

状态变量滤波器的特征不仅在于它们各自的输出响应，还在于滤波器“Q”，品质因数。Q与带通滤波器振幅响应曲线的“锐度”有关，Q越高，输出响应越高或越锐，从而使滤波器具有高选择性。

对于带通滤波器，Q定义为中心频率除以滤波器 -3dB 带宽，即Q = ?c/BW。但Q也可以从上述传递函数的分母中找到，因为它是阻尼因子 ( ζ ) 的倒数。那么Q为：

状态变量滤波器的 Q 因子

同样，如果电阻器R3和R4相等且积分器组件R和C相等，则终的平方根表达式将简化为：√ 1或简单地为1，因为分子和分母相互抵消。

状态变量过滤器示例 No1

设计一个状态变量滤波器，其转角（自然无阻尼）频率? C为 1kHz，品质因数Q为 10。假设频率确定电阻器和电容器相等。确定滤波器直流增益并绘制生成的电路和波德图。

我们在上面说过，如果两个积分电路的电阻R和反馈电容C的值相同，即R = R和C = C，则滤波器的截止或拐角频率点可以简单地给出作为：

滤波器的转角频率

我们可以为电阻器或电容器选择一个值来找到另一个的值。如果我们假设电容器的合适值为10nF ，则电阻器的值将为：

将C = 10nF和R = 15.9kΩ或16kΩ设为接近的值。

Q的值为10。这与滤波器阻尼系数有关：

在上面的状态变量传递函数中，2ζ部分被电阻组合替换为：

我们从上面知道R = 16kΩ和C = 10nF，但如果我们假设两个反馈电阻器R3和R4相同且等于10kΩ，则以上等式简化为：

假设输入电阻R1的值合适，例如1kΩ ，那么我们可以找到R2的值如下：

根据上面的归一化传递函数，DC 通带增益定义为Ao，根据等效状态变量滤波器传递函数，这等同于：

SVF 滤波器直流通带增益

因此，滤波器的直流电压增益计算为 1.9，基本上等于R2/R3。此外，滤波器在? C处的增益可计算为：A o  x Q，如下所示。

SVF 滤波器增益

状态变量滤波电路

那么状态变量滤波器电路的设计将是：R = 16kΩ，C = 10nF，R1 = 1kΩ，R2 = 19kΩ和R3 = R4 = 10kΩ，如图所示。

状态变量滤波器设计

我们现在可以将状态变量滤波器电路在 1Hz 到 1MHz 频率范围内的各个输出响应曲线绘制到波德图上，如图所示。

状态变量滤波器波德图

然后我们可以从上面的滤波器响应曲线中看到，滤波器电路的直流增益为 5.57dB，这等于开环电压增益Ao或如上计算的 1.9。该响应还表明，由于Q的值，输出曲线在拐角频率处的电压增益为 25.6dB 时达到峰值。由于Q还将带通滤波器的中心频率与其带宽相关联，因此滤波器的带宽将为：? o /10 = 100Hz。

我们在这个状态变量滤波器教程中看到，我们可以使用多反馈技术从同一个有源同时产生所有三种滤波器响应，低通、高通和带通，而不是产生一种类型的频率响应的有源滤波器过滤器设计。

但是除了三个基本滤波器响应之外，我们还可以在上面的基本状态变量滤波器设计上添加一个额外的运算放大器电路，以产生类似于标准陷波滤波器的第四个输出响应。

陷波滤波器设计

陷波滤波器基本上与带通滤波器相反，因为它拒绝或阻止特定频带。那么陷波滤波器也称为“带阻滤波器”。为了从基本状态变量滤波器设计中获得陷波滤波器的响应，我们必须使用另一个运算放大器求和放大器 A4 将高通和低通输出响应加在一起，如图所示。

陷波滤波器电路

这里为简单起见，我们假设两个输入电阻器R5和R6以及反馈电阻器R7都具有与R3和R4相同的10kΩ值。因此，这使陷波滤波器的增益为 1，单位为 1。

陷波滤波器和带通滤波器的输出响应与带通响应的中心频率相关，等于陷波滤波器的零响应点，在本例中为 1kHz。

陷波的带宽也由电路Q决定，与通带响应完全相同。因此，向下的峰值等于中心频率除以 -3dB 带宽，即陷波两侧 -3dB 点之间的频率差。请注意，品质因数Q与陷波的实际深度无关。

这种基本陷波滤波器（带阻）设计只有两个输入应用于其加法放大器，即低通输出V LP和高通输出V HP。但是，基本状态可变滤波器电路还有两个信号可供我们使用，即带通输出V BP和输入信号本身V IN。

如果这两个信号之一也与低通和高通信号一起用作陷波滤波器加法放大器的输入，则可以控制陷波深度。

根据您希望如何控制陷波滤波器部分的输出，将取决于您将使用两个可用信号中的哪一个。如果要求输出陷波在无阻尼固有频率? o从负响应变为正响应，则将使用带通输出信号V BP 。

同样，如果要求输出陷波仅在其向下的负深度上发生变化，则将使用输入信号V IN 。如果这两个附加信号中的任何一个通过可变电阻器连接到运算放大器求和放大器，则可以完全控制陷波的深度和方向。考虑下面修改后的陷波滤波器电路。

可变陷波滤波器深度

状态变量过滤器总结

状态变量滤波器( SVF ) 电路是一种二阶有源 RC 滤波器设计，它使用多种反馈技术从同一个滤波器产生三种不同的频率响应输出，即：低通、高通和带通。状态变量滤波器相对于其他基本滤波器设计的优势在于三个主要滤波器参数增益、Q和?c可以独立调整。

我们还在这里看到，滤波器也很容易调整为转角频率，可以通过改变R或C来设置和调整?c，而不影响滤波器阻尼系数。然而，在较高的转角频率和较大的阻尼系数下，滤波器会变得不稳定，因此在低Q值（小于 10）和低转角频率下使用。

基本状态变量滤波器设计使用三个运算放大器部分来产生其输出，但我们还看到，通过添加第四个运算放大器部分将低通和高通部分加在一起，一个陷波（带阻）滤波器输出响应也可以在所需的中心频率上实现。