基于误差反馈的变步长 LMS 自适应滤波算法

　　摘要：对变步长LMS滤波算法进行研究，提出一种新的变步长LMS自适应滤波算法。该算法基于Sigmoid函数，通过引入误差因子反馈来调整函数参数，解决了类Sigmoid函数中参数设置的问题，并使算法具有较快的收敛速度和较小的稳态误差。计算机仿真表明，相对于其他变步长算法，该算法在收敛速度和稳态误差方面均表现优异，具有较好适用性。

　　0 引言

　　LMS（Least mean square）自适应滤波算法由Wid-row 和Hoffman 提出，该算法计算简单、稳定性好、易于实现，被广泛应用在控制、雷达、系统辨识等领域。但是这种固定步长的LMS算法在收敛速率和稳态误差之间的要求是相互矛盾的，而且该算法在处理相关信号时，其收敛速度显着下降。

　　经典的LMS算法的局限在于其固定步长无法兼顾收敛速度和稳态误差。为了解决这一问题，人们在此基础上提出了各种各样的变步长LMS滤波算法。其思想都是用变步长代替固定步长，使算法在大的误差范围内具有快速的收敛性，在小的误差范围内具有较小的失调量。YASUKAWA H,SHIMADA S,FURUKRAWA I,提出了变步长参数正比于误差的算法，其性能有所提升，但并不理想。覃景繁，欧阳景正。一种新的变步长LMS自适应滤波算法[J].给出了一种称为S 函数的变步长LMS算法（SVLMS），该算法的步长调整策略有一定的先进性，但该算法在误差接近零时步长变化剧烈，可能导致稳态误差增大。高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中在覃景繁，欧阳景正。一种新的变步长LMS自适应滤波算法[J].的基础上做了进一步的改进，修正了步长在误差接近零时变化剧烈的问题，但算法中的关键参数需要通过实验手工设置，而参数设置不当将严重影响算法的性能。则分别基于其舌线、双曲正切函数和反正切函数提出了相应的变步长LMS 算法，在一定程度上缓解了收敛速度和稳态误差之间的矛盾。提出了基于变换域的LMS滤波算法，变换域的LMS算法能够提高运算速度，但收敛速度和稳态误差之间的矛盾并没有解决。

　　可见目前的研究大多集中在变步长策略。变步长策略的实质是找到误差和步长之间的一个对应关系，此对应关系能自动调节函数的收敛速度和稳态误差。本文在高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中的基础上提出基于Sigmoid 函数的EFLMS（Error Feedback Least Mean Square）算法。该算法利用反馈的思想，通过在参数中引入误差因子，解决Sigmoid函数参数设置的问题，使算法在收敛速度和稳态误差等性能指标上均有所改善，同时算法具有广泛的适应性。

　　1 相关工作

　　变步长LMS滤波算法的实质是通过误差自适应的调节步长，即在误差较大的收敛阶段用较大的步长以提高收敛的速度，在误差较小的稳态阶段用较小的步长以获得较小的误差。其思想是用误差来反馈调节步长，也就是找到误差和调节步长之间的函数关系，使算法在稳态误差和收敛速度上找到一个好的平衡。

　　高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中提出了一种基于Sigmoid函数的变步长滤波算法。该算法的Sigmoid函数相对简单，而且在误差接近零处变化不大，具有缓慢变化的特征。其算法设计如下：

　　

　　算法的是公式（2）。通过式（2）建立起误差e（n） 和步长μ（n） 之间的对应关系，当误差大时步长变大，收敛速度提高；当误差逐渐变小时，调整步长变小，算法趋于稳态。式（2）中α 和β 是常数，其中α > 0 ,其控制函数的形状和收敛速度，参数β > 0 控制函数的取值范围。其中参数α 是影响算法性能的关键之一，其取值的大小将直接影响算法的收敛速度和稳态误差值。

　　但是高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中中并没有就参数的取值提出明确的设置方法，而是采用实验的方法确定参数的值。而参数设置不当将严重影响算法的性能，同时也使算法的适用性受到了一定的限制。

　　本文提出的EFLMS算法基于Sigmoid函数，通过在参数中引入误差因子解决了函数参数设置的问题。下面介绍EFLMS算法。

　　2 算法描述

　　EFLMS 算法基于高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中提出的变步长策略，并在其基础上做了进一步的改进，通过在参数中引入误差反馈实现参数自动调整。

　　算法中设计步长和误差的函数如下：

　　

　　式中：参数α（n） 控制算法步长变化的形状和速度，而β（n） 控制函数的取值范围。式中的常数b0 用于调整取值范围以满足算法收敛。

　　两个参数α（n） 和β（n） 都是误差比值e（n） e（n - 1） 的函数。当e（n） e（n - 1） 的比值较大时，说明误差变化较大，算法还处在收敛阶段，那么这时相应的参数α（n） 对应较大的值，这时对应得到的步长μ（n） 较大，算法的收敛速度加快。随着误差e（n） e（n - 1） 比值的逐渐变小，这时α（n） 变小使步长μ（n） 变小，算法趋于稳态。在参数β（n） 中，当e（n） e（n - 1） 比值较大时，说明误差变化较大，算法处在收敛阶段，这时β（n） 较大，相应此时步长μ（n）变大，算法收敛加快；当e（n） e（n - 1） 比值逐渐变小，这时β（n） 变小使步长μ（n） 变小，算法趋于稳态。当极e（n） e（n - 1）~1 ,此时β（n） = （1 - b0 ） β（n - 1） ,保证了系统不会出现不稳定的情况。

　　下面在Matlab仿真平台上对EFLMS算法进行仿真实现，验证算法的性能。

　　3 仿真分析

　　自适应滤波算法的性能指标主要有收敛速度和稳态误差，为此对算法的步长和误差进行仿真实验。这里主要对高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中中的自适应算法和EFLMS 算法进行仿真，以验证EFLMS算法的性能。

　　仿真设置如下：自适应滤波器阶数为20,输入信号为单频正弦波，参考的输入信号为零均值、方差为1的高斯白噪声，采样点数为900.其中高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中中的参数α = 0.5 ,β = 0.01 .而EFLMS中的参数设置如下：式（5）中的k = 2 ,式（6）中的b0 = 0.02 .

　　3.1 步长变化仿真

　　算法的调整步长是误差的函数，步长的变化反映了算法的运行情况。算法步长应该是在收敛阶段较大，使系统具有较快的收敛速度；达到稳态阶段较小，以使系统获得较小的误差。所以步长的变化规律在一定程度上反映了算法的合理性。

　　的算法中步长随迭代次数的变化曲线如图1所示，是EFLMS算法的步长变化曲线如图2所示。

　　图中横坐标是迭代次数，纵坐标是算法的调整步长。

　　

　　

　　可以看到，两种算法的步长都随着迭代次数的增大而减小，达到一定的迭代次数之后趋于稳定。图1中，其步长在迭代160次左右时趋于稳定，而图2中步长在迭代60次左右就趋于稳定。可见EFLMS算法的步长调整策略更加合理，其收敛速度显着优于高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中的算法。

　　这是因为EFLMS 算法自适应特性更强，其对参数设置的依赖程度更小，其步长调整更合理。

　　3.2 误差仿真

　　误差反映了算法的输出信号和原信号之间的差别，达到误差所用的迭代次数越少，说明算法的收敛速度越快，误差值越小说明算法的越高，滤波效果越好。所以误差值的在一定程度上反映了算法的性能。

　　图3 和图4 分别是EFLMS 算法的误差变化曲线图。随着迭代次数的增加，两个算法的误差都逐渐变小，小到一定程度之后都趋于稳定，此时系统也趋于稳定。

　　

　　图3 中所示算法的误差在迭代160 次左右达到稳定，图4中的算法在迭代60次左右误差达到稳定，显然图4的算法达到稳定误差所需的次数更少，收敛速度更快，而且在系统稳定之后的误差也更小，对信号的滤波效果更好。这是因为EFLMS算法能根据误差的变化自适应调整步长的能力更强，在收敛阶段误差较大时其步长较大，所以其收敛速度很快；而在误差变小之后调整步长更小，使系统获得更高的。

　　可见，EFLMS算法的性能优异，无论在收敛速度还是在稳态误差上均优于高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中的算法。

　　

　　4 结语

　　本文提出一种基于Sigmoid函数的变步长LMS自适应滤波算法--EFLMS算法。该算法通过引入误差因子来调节参数，解决了Sigmoid函数参数需要手工设置的问题，使算法的步长调整策略更合理。在仿真平台上对算法进行验证，仿真结果表明，相对高鹰，谢胜利。一种变步长LMS自适应滤波算法及分析[J].文章中滤波算法，EFLMS算法在收敛速度更快，更高，验证了算法的可行性和优越性。