用配点法实现传输线瞬态响应的灵敏度分析

随着信号速度的快速增长和高速集成电路芯片尺寸的不断减小，对集成电路互连结构的分析受到越来越多人的重视。为了减少互连效应对IC性能的影响，需要对电路的参数进行优化设计，从而首先需要对电路参数进行灵敏度分析。传输线的灵敏度分析正是国内外研究的热点，如AWE法、特征法。本文方法基于配点法(拟谱方法)，他是继差分法和有限元法后的一种重要的求解偏微分方程的方法。将配点法应用于传输线，将带有偏导变量的状态方程组转化为简单的矩阵方程，从而直接求解相对于传输线参数和负载参数的灵敏度。原文位置

　　1 传输线模型表示

　　设单根传输线长为l，将电报方程中位置变量x′通过x=2x′/l-1匹配到[-1，1]，则有：

　　　

　　选择闭型的Guass-Lobatto求积公式xj=cos(j π/N)，j=0，1，…，N作为插值点，故有：

　　　

　

　　式中N为逼近的阶数，V(xj，s)和I(xj，s)表示传输线上xj处的电压和电流，φj(x)为加权系数：

　　　

　　式中TN(x)=cos(Ncos-1x)为Chebyshev多项式。将式(2)分别代入式(1)左端：

　　　

　

　　式中D表示以Dkj为元素的(N+1)×(N+1)阶方阵，V(s) = [V(x0，s)，V(x1，s)，…，V(xN，s)]T，Z(s) =(l/2)diag[R(x0)+sL(x0)，R(x1)+sL(x1)，…，R(xN)+sL(xN)];I(s)和Y(s)分别与V(s)和Z(s)类似。

　　由于方程组(6)，(7)不含有激励条件，只有平凡解，不失一般性，删去方程组(6)中的和一个方程。令Vnear(s)=V(xN，s)，Vfar(s)=V(x0，s)，Inear(s)=I(xN，s)，Ifar(s)=-I(x0，s)， 及V(s) = [V(x1，s)V(x2，s) …V(xn-1，s)]T，I(s)=[I(x1，s) I(x2，s)…I(xN-1，s)]T。令A(i：j，m：n)表示由矩阵A的第i到第j行和第m到第n列之间元素组成的子矩阵。A(i：j，m)表示矩阵A的第m列中第i到第j行之间的元素组成的列向量。故整理上述方程组可得：

　　　

　

　　与单根传输线处理方法类似，通过配点法处理不难得到M根多导体传输线系统方程：

　

　　

　

　　　2 建立系统电路方程进行灵敏度分析

　　设一含有集总元件和K个耦合传输线子网络的线性电路π，其频域电路方程为：

　　　

　

　　根据初始条件X0计算出X1和X1的偏导，逐步迭代计算得到整个时域灵敏度。

　　3 应用实例与结论

　　这种基于配点法进行传输线网络灵敏度分析的方法，只需要对传输线取少量的点，通常取7阶逼近便可达到很高的，与FFT，NILT等方法相比，计算效率更高，适用性更强。