仪表放大器应在其输入端提供高、平衡的阻抗
图 1 描述了一个双元件变化电桥测量系统的框图。
图 1
应用戴维南定理，我们可以对桥进行建模，如图 2 所示。
图 2
这里，\（R_{th1}\） 和 \（R_{th2}\） 是两个桥分支的等效电阻。此外，节点 A 和 B 的总戴维南等效电压 \（V_{th1}\） 和 \（V_{th2}\） 被分解为差分 （\（v_d\）） 和共模 （\（v_c\）） 分量，由下式给出：
\[v_c= \frac{v_{th1}+v_{th2}}{2}\]
\[v_d= v_{th1}-v_{th2}\]
上图模拟了 \（R_{in1}\） 和 \（R_{in2}\） 在放大器输入端“看到”的阻抗。让我们看看不相等的输入阻抗 （\（R_{in1} \neq R_{in2}\）） 如何影响电路运行。假设电桥是平衡的，电阻值如下图所示。
图 3
在这种情况下，戴维南等效电路的值可以找到：\（v_d\）=0， \（v_c\）=4 V， 和 \（R_{th1} =R_{th2} =500 \Omega \）。
此外，假设所使用的放大器具有不相等的输入阻抗 （\（R_{in1} \neq R_{in2}\）），我们有 \（R_{in1}=10 k \Omega\） 和 \（R_{in2}=10.5 k \Omega \）。可以得出两个重要的观察结果：
观察值 1 — 考虑图 2 中的等效模型，我们有：
\[v_A=\frac{R_{in1}}{R_{in1}+R_{th1}} v_c= \frac{10~k \Omega}{10~k \Omega + 500~\Omega} \times 4~V = 3.8095~V\]
\[v_B=\frac{R_{in2}}{R_{in2}+R_{th2}} v_c= \frac{10.5~k \Omega}{10.5~k \Omega + 500~\Omega} \times 4~V = 3.8181~V\]
虽然电桥初是平衡的（\（v_A = v_B\）），但放大器的不相等输入阻抗会对两个分支造成不相等的负载效应，并导致电桥不平衡（\（v_A \neq v_B\））。
观察 2— 假设放大器可以完全抑制任何共模信号，即 \（A_{cm}=0 \），并且差分增益为 \（A_d=20\），我们可以找到输出电压为：
\[v_{out}=A_d \times \left （v_A-v_B \right ）=20 \times \left （3.8095-3.8181 \right ）=-172~mV\]
虽然假设放大器具有无限的共模抑制比 （CMRR），但放大器的不平衡负载效应允许共模电压在输出端产生误差信号。如果我们使用输入阻抗较低的放大器，这种影响会更加严重。
因此，除了具有高共模抑制外，放大器还应在其输入端提供高且相等的阻抗。
差动放大器的不平衡负载效应
我们可以使用一个差动放大器，如图 4 所示，具有一些典型的电阻值，作为桥式放大器。它可以实现高 CMRR;但是，它的输入阻抗是有限且不相等的。
图 4
同相输入 （\（R_{in，p}\）） 的阻抗为：
\[R_{in，p}=R_3 + R_4 \]
方程 1
假设同相输入接地，反相输入的阻抗 （\（R_{in，n}\）） 可以求为：
\[R_{in，n}=R_1\]
方程 2
以图 4 中给出的电阻值，\（R_{in，n} =1~k \Omega \） 比同相输入的电阻 （\（R_{in，p}=11~k \Omega\）） 小 11 倍。
假设如图 5 所示，我们将上述差动放大器连接到我们的电桥电路。
我们能否使用公式 1 和 2 来评估差动放大器对电桥电路的负载影响？
需要注意的是，通常只有同相输入的方程有效。反相输入的公式 2 是在假设同相输入接地的情况下获得的。换句话说，反相输入的阻抗取决于施加到同相输入的电压 （\（V_{in，p}\））。这是因为 \（V_{in，p}\） 决定了出现在节点 n1 和 n2 处的电压。因此，这会影响差动放大器的反相输入吸收的电流。
一些文档，如ADI公司的“仪表放大器设计指南”，在讨论差动放大器对桥式电路的不平衡负载影响时提到了公式1和2，但没有强调在分析桥式电路时，我们实际上不允许使用上述公式。
我相信这些文档提到公式 1 和 2 只是为了让我们了解差动放大器的不平衡负载效应。
可以证明，当任意输入施加到差动放大器时，\（R_{in，n}\） 由以下方程给出：
\[R_{in，n}= \frac {R_1}{1- \frac {R_4}{R_3+R_4} \times \frac {V_{in，p}}{V_{in，n}}}\]
其中 \（V_{in，p}\） 和 \（V_{in，n}\） 分别是放大器的反相和非反相输入端的电压。例如，使用 \（ \frac{V_{in，p}}{V_{in，n}}=-1\） 和图 4 所示的电阻值，我们得到：
\[R_{in，n}= \frac{R_1（R_3+R_4）}{R_3+2R_4}=\frac{1~k\Omega \times \left （ 1~k\Omega + 10~k \Omega \right ）}{1~k \Omega + 2 \times 10~k \Omega} = 523.8~\Omega\]
这几乎是公式 2 给出的值 （1 kΩ） 的一半。另一个有趣的例子是 \（ \frac {V_{in，p}}{V_{in，n}}=1 \），它导致：
\[R_{in，n}= \frac {R_1}{1- \frac {R_4}{R_3+R_4}}= \frac {1~k\Omega}{1- \frac {10~k\Omega}{1~k \Omega+10~k\Omega} } =11~k \Omega\]
这等于同相输入 \（R_{in，p}\） 的电阻。在许多桥式电路中，节点 A 和 B 的电压彼此接近 （\（\frac {V_{in，p}}{V_{in，n}} \approx 1 \））;因此，\（R_{in，n}\） 将接近 \（R_{in，p}\）。
换句话说，尽管差动放大器对电桥电路的两个分支的负载效应确实不相等，但 \（R_{in，n}\） 和 \（R_{in，p}\） 的差异并不像方程 1 和 2 预测的那么大。
检查差动放大器对电桥电路的负载影响
在本节中，我们将使用图 5 所示的示例电路来讨论如何计算差动放大器对桥式电路的负载影响。
图 5
我们将考虑两种不同的情况：一个是 \（R_0=1~k\Omega \） 和 \（\Delta R=0 \） 的平衡桥，另一个是 \（R_0=1~k \Omega\） 和 \（\Delta R=10~\Omega\） 的不平衡桥。
情况 1 — \（R_0=1~k \Omega \） 和 \（ \Delta R=0 \） 的平衡桥
负反馈以及运算放大器的高增益将迫使节点 n1 和 n2 处于相同的电位。由于电桥两侧的电阻值和节点电压相同，我们可以得出 \（v_A = v_B\） 的结论。
这个结果也与上一节的讨论一致：当差动放大器的反相和同相输入处于相同的电位时 （\（ \frac {Vin，p}{Vin}}\approx 1\））;放大器在其输入端表现出相等的电阻 （\（R_{in，n}=R_{in，p}\）），导致电桥两侧的负载效果平衡。
情况 2— \（R_0=1~k \Omega\） 和 \（\Delta R=10~\Omega\） 的不平衡桥
首先，简单的部分，同相输入的阻抗 （\（R_{in，p}\）） 是：
\[R_{in，p}=R_3+R_4=1~k\Omega + 10~k\Omega=11~k\Omega\]
因此，节点 B 的电压可以求为：
\[v_B=\frac {（R_{in，p}||1~k\Omega）}{（R_{in，p}||1~k\Omega）+1~k\Omega}\times 8~V= \frac{0.9167~k\Omega}{0.9167~k\Omega +1~k\Omega} \times 8~V=3.8261~V\]
在上面的方程中， \（R_{in，p} ||1~k\Omega \） 表示 \（R_{in，p}\） 和 \（1~k\Omega\） 的平行等效电阻。要计算 \（v_A\），我们需要找到 \（R_{in，n}\），它由下式给出：
\[R_{in，n}=\frac{R_1}{1-\frac{R_4}{R_3+R_4} \times \frac{V_{in，p}}{V_{in，n}}}= \frac {1~k\Omega}{1-\frac{10~k\Omega}{1~k\Omega + 10~k\Omega}\times \frac {V_{in，p}}{V_{in，n}}}\]
代入 \（V_{in，p}=v_B=3.8261~V\） 和 \（V_{in，n}=v_A\），我们得到：
\[R_{in，n}=\frac {1~k\Omega}{1-\frac {10}{11} \times \frac{3.8261}{v_A}}\]
方程 3
节点 A 处的电压可以找到为：
\[v_A=\frac{（R_{in，n}||1.01~k\Omega）}{（R_{in，n}||1.01~k\Omega）+ 0.99~k\Omega} \times 8~V\]
将等式 3 代入上述方程式得到 \（v_A=3.8528~V\）。
我们可以使用 LTspice 来验证这些计算。原理图如图 6 所示。如您所见，使用了 Analog Devices 的精密运算放大器 OP1177，而不是理想的运算放大器。
图 6
模拟得出 \（v_B=3.82609~V\） 和 \（v_A=3.85277~V\） 与我们的手牌计算一致。将 \（v_A=3.85277~V\） 的值代入方程 3 得到 \（R_{in，n}= 10.287~k\Omega\）。尽管在反相输入端“看到”的电阻小于 \（R_{in，p} = 11~k\Omega \），但差异小于方程 1 和 2 预测的差异。
这会影响线性度吗？
作为本文的一个要点，我想提请您注意一个关于电路线性度的有趣观察。
对于图 7 所示的电桥，输出由以下公式给出：
\[v_{out， Bridge}=v_A-v_B=\frac{\Delta R}{2R_0}V_{DC}\]
图 7
如您所见，输出与传感器电阻值 （ΔR） 的变化呈线性关系。
上一节的讨论表明，差动放大器的负载效应随 ΔR 而变化。因此，我们可以得出结论，虽然电桥初是线性的，但连接到差动放大器的电桥的整体响应是非线性的。
为了验证这一点，我们对几个不同的 ΔR 值重复上述 LTspice 仿真。结果如图 8 所示。
在此图中，蓝色曲线绘制了放大器输出 （-Vout） 的与 ΔR 的关系。
图 8
红色曲线是穿过对应于 ΔR=0 和 ΔR=5 Ω的点的直线。
我们可以将这条线视为所需的线性响应（如果 ΔR 值较小，则预计电路不会表现出非线性行为）。从上图可以看出，实际响应逐渐偏离了我们的线性曲线。
请注意，在许多实际应用中，ΔR 可能不会像上图中那样变化那么大。该图仅试图说明电压相关负载效应如何导致非线性。
如果我们假设 ΔR 的值为 10 Ω，我们将看到放大器输出的 （-Vout） 和线性响应给出的值分别为 0.2668 V 和 0.2667 V。我们可以使用这些值来计算 ΔR=10 Ω 的终点线性误差百分比，如下所示：
\[百分比~误差=\left （\frac {V_{非线性}-V_{线性}}{V_{线性}} \right ） \times 100 \% =\frac {0.2668-0.2667}{0.2667} \times 100 \% \approx 0.04 \%\]
