图 1经典单输入、单输出反馈环路配置。

经典反馈环路稳定性

图 1 是该类单输入、单输出反馈环路的图。该环路的整体电路增益（也称为闭环增益）计算如下：

从检查来看，

V out (s) = V int (s)G(s) – V out (s) K(s) G(s)

重新安排，

 公式1

如果分母中的项为零，则电路会不稳定，因为 V out / V in趋于无穷大。因此，当 G(s) 乘以 K(s) 等于负一时，电路不稳定。由于 G 和 K 都是 s（复频率）的函数，因此，如果闭环增益的幅度超过 0 dB（增益为 1），且当相位(G(s) K(s)) 的负值等于或大于-180 度。

相位裕度定义为幅度为零 dB 的频率处的（180 度 + 相位响应）。设计为至少 30 度的相位裕度通常是设计人员可接受的值。如果相位裕度为 30 度，电路可能会在达到设定点之前振铃几个周期。 （此外，组件变化可能会降低实际相位裕度。）90 度的相位裕度通常是过阻尼的（需要很长时间才能达到设定点）。 45 至 75 度的相位裕度通常可以提供快速响应，而不会产生太多振铃。

运算放大器电路

考虑图 2 中的标准同相运算放大器配置。

 

图 2 同相运算放大器配置。

假设运算放大器具有非常高的输入阻抗（无输入漏电流）和非常低的输出阻抗（与 Z f相比）。可以推导出传递函数：

从运算放大器本身的方程开始：

接下来，写出运算放大器反相输入的节点方程（无漏电流）：

将 K(s) 定义为：

现在将 K(s) 和 V neg的表达式代入运算放大器方程：

 公式2

一项快速检查是考虑 Av(s) 较大时的低频情况。分母变为简单的 K(s) A v (s)，V out /V in大约为 1/K(s) 或熟悉的 1 + Z f /Z in。

请注意，方程 1 和方程 2 具有相同的形式。我们可以将基本同相运算放大器配置重新绘制为图 3 所示。

 

图 3 用于同相运算放大器配置的经典单输入、单输出反馈环路配置。

同样，如果 (A v Z in / (Z in + Z f ))的相位在该项的幅度为零 dB 的频率处小于 -180 度，则该电路是稳定的。使用图 4，您可以通过断开 Z in和 Z f与运算放大器反相输入的连接来可视化开环增益。将反相输入接地，并在 Z in和 Z f的连接处（现在是分压器）获取输出 (V fb )。通过检查，开环增益（再次）为：

 

图 4 针对同相运算放大器配置打开环路。

现在考虑图 5 的反相电路。

 

图 5 基本反相运算放大器配置。

可以采用与图 2 的同相电路类似的方式导出闭环增益，结果为：

 公式3

其中 K(s) 仍定义为：

低频增益为 1 ” 1/K(s) 或熟悉的“Z f /Zin”。与同相运算放大器电路的区别是分子中的 (K(s) ” 1) 项。在经典的反馈环路配置中，这相当于在输入处添加一个模块，如图 6 所示。请注意，L(s) 对反馈环路本身的稳定性没有任何影响。

 

图 6 带有输入衰减模块的经典反馈环路。

更重要的是，基本的同相和反相运算放大器配置具有相同的稳定性标准！在这些电路的简单实现中，Z in和 Z f都是电阻器（R in和 R f）。为了稳定性，只需考虑运算放大器本身的增益，按增益 (R in / (R in + R f )) 放大和缩小。一些运算放大器需要大于一（例如十）的增益才能稳定。对于这些运算放大器，运算放大器本身的相位裕度在单位增益下要么接近于零，要么为负值。然而，如果频率比运算放大器本身的零 dB 点低十倍，相位裕度可能是可以接受的。许多其他现代运算放大器都是“单位增益稳定”的。单位增益稳定的运算放大器在缓冲器配置中具有足够的相位裕度（下图 7）。

 

图 7 运算放大器缓冲电路。

一个非直观的结果是，当电路增益减小到单位以下时，对于反相和非反相电路配置，K(s) 都接近 1。在增益为 1 的反相配置中，Z f = Z in，且 K 为 1/2。如果增益为二分之一，则 K 为 1/3。随着 K 减小，电路带宽接近缓冲器配置中运算放大器本身的带宽。

考虑单位增益稳定运算放大器，其开环增益如下图 8 所示。在此图中，增益在大约 175kHz 处跨越 0dB。在 175kHz 时，该图显示相位裕度约为 43 度。 （如果该运算放大器在缓冲器配置中运行，则其相位裕度将为 43 度。）

如果运算放大器用于增益为 1 的反相配置，K 将为 0.5 或 -6dB (20 log 10 (0.5))。此反相配置中的开环增益将是运算放大器本身的开环增益向下移动 6dB。开环增益的 0dB 点约为 90kHz，相位裕度约为 63 度。

 

图 8 Linear Tech LT1462 的开环增益（该图显示相位裕度而不是相移）。

作为对比，请考虑 LT1886（参见下面的图 9），它被指定为仅当闭环增益大于或等于 10 时才稳定。当反相增益为 10 时，K = 1/9 或 -19dB (20 log 10 ( 1/9））。从图中可以看出，0dB 点大约在 300MHz 处。将运放的开环增益曲线降低 19dB，将 0dB 点降低至约 60MHz。在 60MHz 时，相位裕度变为约 60 度，而不是 -60 度。

 

图 9 Linear Tech LT1886 的开环增益（该图显示相位裕度而不是相移）。

 

图 10 积分器/微分器电路。

作为示例，请考虑上面图 10 中所示的积分器/微分器电路。可以推导出输入阻抗和反馈阻抗以及 K(s)：

和

公式 5 K(s) 包括分子中的低频电阻衰减（当电容器开路时）以及零点和极点。

一般来说，可以直接从数据表中确定运算放大器的直流增益、极点和零点，也可以从开环频率响应中推断出它们。例如，运算放大器增益A v (s) 可能具有以下形式（其中 DC增益很大）：

公式 6 将 K(s) 乘以 Av(s) 可得出开环增益。闭环增益可使用上面的公式 3（结合公式 5 和公式 6）计算。 K(s)和A v (s)的分子(下面缩写为num)和分母(下面缩写为den)是s的多项式。因此方程 3 可以重写为：

请注意，在低频（s 很小）时，闭环增益变为 (α ” 1)/α，可以减小到中普遍存在的 R f /R 。人们需要插入一些实际值来评估该电路的稳定性（或不稳定性）。重点是展示如何建立具有复杂输入和/或反馈阻抗的开环和闭环方程。 Matlab 是可用于绘制开环和闭环增益图的几个程序之一。