卡尔曼滤波是一种递归算法，旨在对动态系统的状态进行估计。其思想是通过结合系统模型和测量数据来减少估计的误差。卡尔曼滤波适用于线性系统，并且假设系统噪声和测量噪声是高斯分布的。
卡尔曼滤波的基本原理
卡尔曼滤波的过程可以分为两个主要步骤：预测和更新。以下是详细的步骤说明：
预测步骤
目标：预测系统的下一状态和误差协方差。
状态预测：
根据系统的状态转移方程预测下一个状态：
其中，(\hat{x}{k|k-1}) 是在时间 (k) 对状态 (x_k) 的预测，(A) 是状态转移矩阵，(\hat{x}{k-1|k-1}) 是在时间 (k-1) 对状态 (x_{k-1}) 的估计，(B) 是控制输入矩阵，(u_k) 是控制输入。
误差协方差预测：
预测下一时间步的误差协方差：
其中，(P_{k|k-1}) 是在时间 (k) 对误差协方差的预测，(P_{k-1|k-1}) 是在时间 (k-1) 对误差协方差的估计，(Q) 是过程噪声协方差矩阵。
更新步骤
目标：利用新的测量值来更新状态估计和误差协方差。
卡尔曼增益计算：
计算卡尔曼增益 (K_k)，它用于权衡预测和实际测量的权重：
其中，(H) 是测量矩阵，(R) 是测量噪声协方差矩阵。
状态更新：
利用测量值 (z_k) 来更新状态估计：
其中，(z_k) 是在时间 (k) 的实际测量值。
误差协方差更新：
更新误差协方差：
其中，(I) 是单位矩阵。
卡尔曼滤波的关键点
线性假设：卡尔曼滤波器适用于线性系统。如果系统是非线性的，可以使用扩展卡尔曼滤波（EKF）或无迹卡尔曼滤波（UKF）。
高斯噪声：卡尔曼滤波假设系统过程噪声和测量噪声都是高斯分布。
递归：算法不需要存储所有历史数据，而是通过递归更新状态估计和误差协方差。
