磁芯是许多电气和机电设备（包括变压器、电感器、电动机和发电机）的重要组成部分。然而，输入到这些磁芯中的部分能量不可避免地会以热量的形式耗散，从而降低设备的效率和性能。这些损耗产生的热量也会损坏磁芯材料。
我们需要注意的主要磁芯损耗之一，尤其是在高频下，是磁滞损耗。磁滞损耗定义为材料磁畴随着外部施加的磁场旋转和排列而耗散的能量。
您可能还记得大学课程中讲过，磁芯的磁滞损耗与磁芯材料BH 曲线的面积成正比。本文旨在阐明这一基本关系。为此，我们首先需要深入了解电感器如何与电路交换能量以及能量如何存储在磁场中。
磁场能量：概述 电场和磁场都可以储存能量。电场中的能量储存概念对于大多数电子工程师来说相当直观。然而，磁场能量的概念就没那么直观了。
考虑一下电容器的充电过程，它在极板之间产生电场。在电容器的极板上积累电荷需要能量，这是有道理的。随着电容器极板上积累的电荷越来越多，极板之间的电位差就会增大。如果我们在极板之间建立一条导电路径，电容器就会通过在电路中产生放电电流来释放储存的能量。
现在考虑电感器。当电感器承载电流时，它会将能量存储在磁场中。建立或增加电流需要能量源（比如电池）来做一些工作。
为了更好地理解这一点，我们可以看看法拉第感应定律和楞次定律。法拉第定律告诉我们，增加电感电流将在电感端子之间产生电动势 (EMF)。楞次定律（如图 1 所示）告诉我们，EMF 的极性将阻碍电流的变化。
电流通过螺线管（a）并且 EMF 对该螺线管的影响（b）。
图 1. (a) 所示方向上的固定电流会产生指向左侧的磁场。 (b) 当电流增加时，会产生试图抵抗电流变化的 EMF。
为了增加电感电流（进而增加磁场中存储的能量），电池必须对抗感应 EMF 做功。这类似于我们试图在电容器板上积累相同极性的电荷时所面临的阻力。在这两种情况下，能量源都必须做一些工作并将能量输送到其负载。
计算磁场能量
输送到电感为L的电感器的能量可利用一般瞬时功率方程来找到：
P = vi = Lididt
等式 1.
其中v和i分别是电感的瞬时电压和电流。
在无限小的时间 (dt) 内提供给电感器的增量能量 (dU) 为 dU = P × dt。如果我们代入公式 1 中的P值，我们得到：
dU = Lidi
等式 2.
假设电感电流从I 1变为I 2，其中I 1和I 2均为正值。我们可以通过对上述方程积分来找到传输到电感的能量 ( U )，得到：
U = L∫I2I1 idi = 12L(I22 ? I12)
上式显示了电感中的能量存储方式。有三种不同的情况需要考虑：
如果电感电流从I 1增加到I 2 ( I 2 > I 1 )，U为正。因此，电池会向电感输送一些能量。
如果电感电流恒定（I 1 = I 2），U等于零。没有能量输入电感。
如果电感电流从I1减小到I2（I2 < I1），U为负值，意味着电感充当向外部电路供应一些能量的源。
因此，将I 2 = I和I 1 = 0 代入公式 3，即可得出电流为I 的电感器中存储的能量。这可得出：
U = 12LI2
等式 4.
电感器中的能量会发生什么变化？
电感器中存储的能量可以传输到电路中的其他元件，例如电容器或电阻器。例如，考虑图 2 中的电路。
显示电感器如何释放其初始能量的理论电路。
图 2.显示电感器如何释放其初始能量的理论电路。
该电路包含两个开关S 1和S 2。它们的工作原理是，当一个开关闭合时，另一个开关断开。
假设S 1保持闭合足够长的时间，以至于流过电感器的电流已达到其平衡值 ( I = V S / R )。然后我们打开S 1并闭合S 2 。这将初始电流为I 0 = V S / R的电感器连接到电阻器。流过此 RL 电路的电流是衰减指数，如下所示：
I = I0e?RtL
当电流流过 RL 电路时，RI 2的功率被传送到电阻器。对t = 0 到t = 无穷大范围内的功率进行积分，可以得到传送到电阻器的总能量。您可以轻松验证传送到电阻器的总能量等于我们打开S 1时电感器中存储的磁场能量（由公式 4 给出）。
请记住，这是一个理论示例。由于我们假设电感器无损耗，因此所有存储的能量都提供给电路。由于磁滞损耗（更不用说涡流损耗等其他损耗机制），现实世界中的电感器会将部分输入能量以热量的形式耗散。稍后，我们将看到磁滞损耗如何在电感器材料的 BH 曲线中体现出来。
以场量表示的磁能
用磁通密度 ( B ) 和磁场强度( H )来表示磁场能量会很有帮助。将磁场从B 1改变到B 2所需的体积能量密度为：
wm = ∫B2B1H × dB
等式 6.
证明上述方程的一般形式相当复杂。但是，对于螺线管或环形线圈等简单结构，我们可以通过应用与方程 3 中类似的方法推导出方程 6。让我们来研究一下螺线管。
螺线管的磁能密度
考虑一个使用磁芯的螺线管。该螺线管有N匝，长度为l；其磁芯的磁滞回线如图 3 所示。
示例螺线管磁芯的磁滞回线。
图 3.示例螺线管磁芯的磁滞回线。
如果螺线管的初始磁场强度为h 1 ，则使磁通密度增加 Δ B所需的能量是多少？
我们的步是找到在无穷小的时间内（Δt）输送到电感器的瞬时功率：
P = vi = i(NΔΦΔt)
等式 7.
该方程与方程 1 相同，不同之处在于电感电压现在以穿过线圈横截面积的磁通量 (?) 来表示。如果横截面积为A，则有 ΔΦ = A × ΔB
，从而得出：
P = iNAΔBΔt
对于匝数为N、长度为l 的螺线管，磁场强度为H = Ni / l。假设图 3 中的 A 点对应的电流为i 1，磁场强度为h 1，则公式 8 可以改写为：
P = lA × h1ΔBΔt
在时间间隔 Δ t内提供给电感器的增量能量（Δ U ）为：
ΔU = P × Δt
等式 10。
结果是：
ΔU = lA × h1 × ΔB
，注意到lA是螺线管的体积，传递到电感器的增量能量密度为h 1 × Δ B。这与公式 6 一致。
回顾图 3，我们看到传输的能量密度 ( h 1 × Δ B ) 等于阴影条带的面积。这是我们计算磁滞损耗所需的关键观察结果。
计算螺线管的磁滞损耗
当正弦磁场施加到铁磁材料上时，由于磁畴的旋转和排列，材料中会耗散一些能量。那么，需要多少能量才能在材料中维持正弦磁场呢？
让我们考虑图 3 中磁滞回线的一个完整周期，从点f开始，沿着路径fgbcdef回到点f。当我们在磁滞曲线上从点f移动到点g再移动到点b时，改变磁通密度所需的能量密度等于 ( H × dB ) 在该路径上的积分。该积分的结果（公式 6）等于图 4 中的青色区域。
传送到电感器的能量从点 f 到点 b。
图4.从点f到点b传输到电感的能量。
电流沿路径fgb增加。因此，能量被传送到电感器。另一种理解方法是，当我们从f移动到b时， H和db（或等效地，短连续时间间隔内的Δ B ）均为正。这告诉我们，传送的能量为正。
接下来，我们来考虑从b到c的路径。同样，电感器与外部电路之间交换的能量与磁滞曲线和 B 轴之间的面积成正比。在图 5 中，该区域被涂成洋红色。
从点 b 到点 c 时电感器提供的能量。
图5.电感器提供的能量从点b到点c。
图中的洋红色区域表示电感提供的能量，而不是电感接收的能量。H在曲线的这一部分减小，因此电感电流也减小。电感正在向外部电路供电。我们也可以得出同样的结论，因为在这种情况下H为正，dB为负，这意味着传递给电感的能量为负。
当我们沿着路径fgbc移动时，传输到电感器的净能量密度可以通过从图 4 中的青色区域中减去图 5 中的洋红色区域来找到。这剩下图 6 中的紫色区域。
沿路径 fgbc 传输到电感器的净能量。
图6.沿路径fgbcf到点c时传输到电感器的净能量。
类似地，路径cde的能量对应于图 7 中的青色区域，路径ef的能量对应于图 8 中的洋红色区域。
传递到电感器的能量从点 c 到点 e。
图7.从点c到点e传输到电感的能量。
电感器提供的能量从点 e 到点 f。
图8.电感器从点e到点f提供的能量。
再次，青色区域表示传输到电感的能量，洋红色区域表示电感提供的能量。沿着路径cdef传输到电感的净能量密度可以通过从青色区域中减去洋红色区域来找到，从而得到图 9 中的紫色区域。
沿路径 cdef 从点 c 到点 f 时传输到电感器的净能量。
图 9.沿路径cdefc到点f时传输到电感器的净能量。
综合起来，图 6 和图 9 显示了在铁磁材料中维持一个正弦磁场周期所需的总能量密度。该能量以热量的形式在材料中耗散，等于磁滞回线所包围的面积。磁滞面积越大，每个周期的损耗越大。
我们只需使用这一关键观察结果，即可估算不同材料的磁滞损耗。我们将在本系列的下一篇文章中更详细地讨论这一点，其中还将介绍一种计算磁芯磁滞损耗的经验方法。
