使用信号平均来提高测量的准确性

时间:2023-04-27

我们的测量不可避免地会受到来自不同来源的噪声的影响。有时,我们测量的信号比噪声分量小几个数量级。在这些情况下,我们需要降噪技术以某种方式抑制噪声。在本文中,我们将研究在特定情况下非常有效的信号平均法。 

 

信号平均如何工作?

假设实验的输出是如图 1 所示的指数曲线。

 

图1

 

假设我们的测量设置使用 ADC 将该信号数字化。理想情况下,我们希望得到图 1 中的曲线样本;然而,实际上,噪声电压出现在 ADC 输入端并破坏了我们的样本。假设噪声分量服从均值为 0、方差为 1 的正态分布。图 2 显示了此类噪声分量的示例。

图 2

 

如果我们将上述噪声分量添加到图 1 所示的所需输出中,我们将获得图 3 中的波形。

 

图 3

 

如您所见,噪声大到足以掩盖所需的输出。我们如何才能实现更准确的测量?实际上,如果某些关于噪声分量的假设是有效的,这在理论上是可能的。让我们假设噪声样本既不相互关联,也不与期望的输出相关。此外,假设噪声的平均值为零。现在,让我们重复这个实验三次,如图 4 所示。

 

图 4 

 

在 t=0.3 ms 时,我们从这三个实验中得到以下值:

 

X 1 = S 1 + n 1 = -0.707 v

X 2 = S 2 + n 2 = 1.712 v

X 3 = S 3 + n 3 = 2.557 v

 

在上述等式中,当 i = 1、2、3 时,Si 表示所需的信号值,在此特定示例中为 0.7769 v(来自图 1)。然而,作为噪声分量的 n i随实验的不同而不同。由于噪声样本彼此不相关且均值为零,因此对上述三个值进行平均应该可以更好地估计所需值。我们获得:

 

X平均值= 1.187 v

 

请注意,在我们所有的实验中都相同的期望值并没有被平均过程抑制;但是,随机且均值为零的噪声分量会变小。图 5 显示了我们通过计算三个实验的平均值得到的信号。尽管平均值仍然非常嘈杂,但它的整体形状在某种程度上类似于图 1 中的指数曲线。 

 

图 5

 

是否可以通过增加实验次数来提高准确率?图 6 显示了 100、200、300 和 400 次实验的平均输出。

 

图 6

 

随着我们增加实验次数,我们得到越来越准确的测量结果。让我们看一下平均的数学分析,并量化增加实验次数对噪声抑制的影响。

 

数学分析

假设一个实验可以重复 N 次试验。如果我们用 j 表示实验编号,则第 j 个实验的输出 X j可以写为 

 

X j = S + n j      1 ≤ j ≤ N 

 

其中 S 表示所有这些 N 次试验都相同的期望输出,n j是影响第 j 次试验的噪声分量。与所需的输出不同,噪声分量因实验而异。假设,为了将我们的测量值数字化,我们从每个实验的输出中总共提取了 M 个样本。如果我们用 k 表示样本数,我们有 

 

X j (k) = S(k) + n j (k) 1 ≤ k ≤ M 

 

因此,对于给定的样本数 p,我们从这些实验中得到 N 个不同的值:        

 

X 1 (p) = S(p) + n 1 (p)

X 2 (p) = S(p) + n 2 (p)

……

X M (p) = S (p) + n M (p)

 

我们看到信号平均可以抑制噪声分量。这些值的平均值是 

 

XAvg(p)=1MM∑j=1(S(p)+nj(p))XAvg(p)=1Mj=1M(S(p)+nj(p))

 

由于 S(p) 对于所有这些实验都是相同的,我们有

 

XAvg(p)=S(p)+1Mj=1Mnj(p)=S(p)+n(p)

 

我们不知道影响第 j 个实验的噪声样本 n j (p) 的确切值,但我们假设它是一个均值为零且方差为 σ 2的随机变量。为了量化信号平均对降噪的影响,我们应该计算平均噪声分量 n(p) 的方差,我们将用 σ n, avg 2表示。我们知道可以通过以下等式找到方差:

 

σn,avg2=E([n(p)]2)?μ2

 

其中 E(.) 表示期望值,μ 是 n(p) 的平均值。由于假定随机变量 nj(p) 的均值为零,因此 n(p) 的均值也将为零。因此,我们有

 

{\sigma _{n, avg} }^2 =E\left ([n(p)]^2 \right ) =E\left [ \frac{1}{M}\sum_{j=1} ^M n_j(p)\right ]^2 = E\left ( \frac{1}{M^2}\sum_{j=1}^M n_j(p) \sum_{j=1}^M n_j( p) \右 )

 

这可以改写为 

 

σn,avg2=E(1M2j=1Mj=1Mnj(p)nj(p))=1M2j=1Mj=1ME(nj(p)nj(p))

 

如果您需要查看期望运算符的属性,请观看此视频。上面的求和总共有 M 2项。其中一些涉及乘以两个不同的随机变量,即 n i (p)n j (p),其中 i≠j。对于这些项,由于我们假设随机变量是独立的,所以我们有:

 

\[E(n_i(p)n_j(p))=E(n_i(p))E(n_j(p))=0 \; \; \; \; 为了 \; \; \; 我 \neq j \]

 

因为每个随机变量的期望值为零。然而,对于 i=j 的项,我们得到

 

\[E\left ( n_i(p)n_j(p) \right )=E\left ( \left [ n_i(p) \right ]^2 \right )= {\sigma_n}^2 \; \; \; \; 为了 \; \; \; 我 = j\]

 

总共有 M 个这样的项,因此我们得到:

 

σn,avg2=1M2j=1Mj=1ME(nj(p)nj(p))=1M2Mσn2=σn2M

 

上面的等式表明,虽然噪声样本的方差为 σ 2,但信号平均技术将其降低了 M 倍。请注意,所需信号不受平均的影响。因此,我们可以得出结论,信号平均可以将信噪比 (SNR) 提高 M 倍。该分析允许我们为平均技术选择所需的实验次数,以便我们可以实现任意 SNR。 

通过理解以上分析,我们可以更好地了解信号平均技术的局限性。上述分析的隐含假设是:

 

信号平均依赖于噪声随机性

有时出现在我们测量系统输入端的噪声并不是真正随机的。例如,来自电源线的噪声会产生非随机噪声分量。假设电源线频率为 50 Hz(周期为 20 ms)并且我们每 40 ms 触发测量。如图 7 所示。在这种情况下,影响特定样本的噪声 n(k) 始终与电源线正弦波的特定部分相关。因此,平均技术不会抑制这种噪声。为了解决这个问题,我们可以简单地选择一个不能被 20 ms 整除的测量周期。或者,我们可以使用随机测量周期。

 

图 7

 

结论

有时,我们测量的信号比噪声分量小几个数量级。在这些情况下,我们需要降噪技术以某种方式抑制噪声。在本文中,我们研究了信号平均技术,当噪声与我们想要的信号不相关时,它会很有帮助。此外,噪声应该具有零均值。我们看到,如果我们重复 M 次实验并计算这些实验的平均值,则信噪比 (SNR) 可以提高 M 倍。

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