基于Matlab的正多边形零件连续加工的误差分析

     0 引言

　　端面为正多边形的零件在生产中经常会遇到，此类零件通常采用铣床、刨床进行加工，加工工艺比较复杂，而且含有间隙分度和空行程等非连续运动，难以提高加工效率。利用摆线原理加工正多边形零件是一种新方法，该加工方法所需运动个数少，而且运动连续，加工效率较高。

　　Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所要求解的问题，用户只需简单地列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。

　　本文利用Matlab软件，分析摆线方程中各参数对摆线形状的影响，研究摆线逼近直线的逼近规律及其误差分布。对多边形零件进行了计算分析，通过迭代运算，分别计算出满足加工所需的e值(刀具的回转半径)和在给定的回转半径下的误差值，证明了利用摆线原理加工多边形零件的可行性。

　　1 摆线的参数方程

　　在数学上摆线定义如下：如果一动圆在与其相切的定圆上作无滑动的滚动时，动圆上一个定点运动的轨迹称为摆线。我们把动圆称为基圆，把定圆称为发生圆。如图1所示，设基圆半径为R，发生圆半径为rP为与发生圆固联的一点，P到发生圆圆心的距离为e，发生圆由水平位置I开始沿基圆做纯滚动，在位置I处固联点P位于茗轴上，当发生圆滚动到位置Ⅱ(位置I与位置Ⅱ的夹角为a)时，发生圆的自转角为口，则P点的轨迹可表示为：

　　

图1 摆线爹数

　　2 各参数对摆线形状的影响

　　2.1 是R与r对摆线形状的影响

　　令e>r，即P为发生圆圆外一点，当R=3*r时的摆线轨迹如图2所示。中心有一近似正三边形的内核，如果我们要在给定直径的棒料上加工满足一定要求的正n边形，我们需要做如下工作：

　　(1)使基圆与发生圆的半径比满足R：r=n；

　　(2)调整r值的大小，使正n边形的顶点与棒料的圆周重合；

　　(3)定义加工出的正多边形中点到理论中点间的距离为加工误差，调整r值与e值的大小，使误差满足要求。

图2 摆线切割正三边形

　　对于给定的e值，随着r值的增大，正多边形的边长也跟着增大。图3为e=35时不同的r值所对应的加工正三边形的摆线轨迹，可以看出r值越大，正三边形边长中点处的摆线段的曲率半径就越大。此处的摆线就越接近直线。

图3 不同r值所对应的摆线轨迹

　　2.2 F对摆线形状的影响

　　图4为不同的r与e的关系对应加工正三边形的摆线轨迹，由图可见：

图4 不同的r与e的关系对应的摆线轨迹

　　(1)当e＜r时，正三边形顶点处为圆弧形，不满足加工要求；

　　(2)当e=r时，P点恰落在发生圆的圆周上；

　　(3)当r＜e＜2*r时，摆线中心出现正多边形的内核，随着e值的不断增大，正三边形的边长不断减小；

　　(4)当e=2*r时，摆线中心交于一点，三边形核消失；

　　(5)当e＞2*r时，摆线中心又出现正三边形的内核，而且随着e值的增大，三边形边长也随着增大。而且e值越大，正三边形边长中点处的摆线段曲率半径也越大，即摆线越接近直线。

　　所以在加工过程中我们尽量取较大的e值，但是在加工过程中，e为刀具的回转半径，由于机床的结构所限，e值也不能取的太大。

　　2.3 r与e值的确定

　　根据以上分析，我们要获得高的零件，就要取大的e值与r值。因为摆线方程都是数学超越方程，不能通过数学解析的方法求解，故我们借助Matlab数学工具进行迭代运算，分别计算出满足加工所需的e值，r值和在给定的回转半径下的误差值T，图5为给定加工要求，计算满足加工要求的e值的程序流程图，图6为给定刀具的回转半径e，计算该回转半径对应的误差值Tmax。的程序流程图。烈为正多边形右顶点处的理论x值。

图5 正多边形emax计算流程图

图6 正多边形加工计算流程图

　　根据流程图，只要将工件直径、加工边数、回转半径初值，加工要求代人图5的程序中，我们便可以计算出满足加工要求的e值，并返回对应的r值；而如果将工件直径、加工边数、回转半径代入图6的程序中，便可以计算出该回转半径对应的误差值，并判断其与加工值的大小，如果满足加工要求，则返回误差值及r值。

　　3 运行实例

　　假定刀具的回转半径为150mm，如果要在直径为20ram的工件端面上加工一正五边形，要求加工为0.08mm，将以上数据代入程序，可以计算出当e=150mm时，加工误差为0.067mm，小于要求的加工0.08mm，此时对应的r值为39.506mm。同时，可以计算出加工误差恰为0.08mm时的刀具回转半径为125.5mm。此时对应的r值为33.387mm。

图7 加工后的正五边形

　　将发生圆绕基圆的公转变成工件的运动，将发生圆的自转变成刀具的运动，保证刀盘与工件的转速比为发生圆与基圆的半径比，那么此时刀尖点所生成的轨迹为摆线的轨迹。根据摆线加工的特殊性，必须准确控制刀盘与工件的转速比，所以将刀盘和工件用伺服电机控制，并保持联动，以确保转速比的准确性。要加工给定条件的正五边形，刀具的回转半径为150mm，刀轴与工件主轴之间的距离为R-r=4*r=439.506=158.024mm，两轴同向转动，并保证转速比为5：1，即可加工出所需的零件。图7为利用Veficut加工仿真软件加工后的正五边形。

　　4 结束语

　　相对于传统的车削、刨削而言，摆线加工运动简单且连续，加工效率高。但该方法采用“以曲代直”的思想，适用于要求不太高的零件加工，且受加工原理的制约，工件的直径不宜过大。

  

参考文献:

[1]. 150mm datasheet https://www.dzsc.com/datasheet/150mm_2510809.html.