应用化方法的凡个问题

　　1 解的性质

　　在数学上已经证明，非线性规划中只有凸规划问题的解X*才是全局，即在可行域内再也找不到其他点的目标函数值比X ＇点的目标函数值更好，X*点的目标函数值在可行域内已达到极值。凸规划的定义是：目标函数为凸函数（如线性或二次函数），而由约束条件构成的可行域为凸域。

　　对于一般的工程优化问题，目标函数不一定都是凸函数，可行域也不一定是凸域，因此这样的非线性规划可能存在有多个局部解，在这些局部解中有一个全局解。因此工程优化设计所得到的解，一般来说，属于局部解。搜索迭代过程收敛到哪个局部解，与搜索方向（即算法）和迭代开始时的初始点有关。现在有人对获取全局解的算法做过一些研究工作，但还不能具体应用于工程优化问题。因此在计算寻优时，应当多取几个初始点，分别进行迭代搜索，得到不同的局部解，再进行比较，以期获得较好的局部解。

　　2初始点的选择

　　对于多变量的工程优化问题，正确选择初始点对提高收敛速度和得到较好的局部解有一定的作用。一般可以认为，如果迭代开始时所选择的初始点越靠近某个局部解，则迭代收敛到这一解的迭代次数越少。对于有约束的优化问题，迭代搜索时既要使目标函数为，又要满足可行域的要求。因此，在选择初始点时应使该点偏离等式约束的程度尽量小，尽量接近可行域。

　　工程设计问题可以参考经验设计的结果选取初始点。

　　3 收敛判据

　　在数值计算时，要判断计算迭代过程是否终结，是否可以命令计算机停止工作，需要有收敛停机的判据。无约束优化算法有三种收鲰判据，可以选择其中的一种或两种编入程序。

　　1）前后两步迭代点的距离

　　X_k+1为第k+1步迭代的点。上式代表点向量之差的范数（或两点之间的距离）小于规定的误差要求ε₁，ε^₁是一个很小的正数，如10^-6或10^-3，可以根据对误差的要求确定。

　　2）前后两迭代步的目标函数之差

　　ε₂为很小的正数。

　　3）目标函数的梯度

　　式（14－27）代表目标函数对第i个设计变量x_i的偏导数，ε₃为很小的正数。

　　4.变量尺寸的统－

　　对于工程优化设计问题，变量值常分布在一个很宽的范围内，如开关电源的开关频率可能是：10-5～10 -6Hz，电容值可能是10-3～10-5，各变量的数量级差别很大，使迭代收敛有一定困难。为了解决这一困难，需要采取措施使所有设计变量值有相同的数量级。即令
         

　　　5约束值尺度的统一

　　若一种算法不要求初始点可行，则初始点选择不能满足所有约束。在初始点，各约束函数值偏离可行域边界有近有远，相差可能很大。因此需要对各个约束值尺度统一，避免某些约束函数值很大，而另一些约束函数值的影响很弱，以保证收敛速度。

　　有的文献指出，约束函数值g_i（X），i＝1，2，…，m”如能统一在10²～10^-2范围内较为合适。

　　收敛停机判据对于有约束优化问题应另行规定。例如，第k次迭代时第i个约束函数为g_i（Xk），令Si为换算尺度因子，统一尺度后的约束值为：

      

　　6 多目标优化问题

　　有的时候设计开关转换器要求优化目标不止一个，而且各个优化目标之间也可能存在着矛盾关系。例如设计一个转换器，希望重量，又希望损耗，这两个优化目标就是

　　相互矛盾的。对于若干个互相矛盾的目标函数求解时，只能协调折中处理，协调解称为“非劣解”。

　　有多个优化目标的设计问题称为多目标优化问题，处理多目标的优化问题常常是设法将多目标问题转换成单目标问题来寻优。

　　其中，一种方法是选择某个主要的目标求其值，而规定另一些目标的上限或下限，作为约束要求。例如9上面提到的重量和损耗两个优化目标，可以以重量G（X）为目标函数，而损耗P（X）规定上限P_o，可以写成如下的模型形式
       

　　另一种方法是构造复合目标函数，用线性加权和或平方加杈和等方法将k个目标转换成一个单一的目标。例如，用线性加权和的方法，则多目标优化问题转换为下述单目标优化问题：

　　W_j（j＝1，2，……,k）称为权因子，由经验确定。

       欢迎转载，信息来源维库电子市场网（www.dzsc.com）