一种高性能纠错码及其在通信技术中的应用

1 概述

在现代通信系统中，纠错码被用来提高信道传输的可靠性和功率利用率，因为它可以检测并纠正信号传输过程中引入的错误，抗干扰能力强，所以纠错码的设计是保证数据可靠传输的一个重要组成部分。

早在20世纪中期，香农(Shannon)就提出并证明了的抗干扰信道编码定理：设某信道有r个输入符号，s个输出符号，信道容量为C。当信道的信息传输率R<C时，只要码长N足够长，总可以在输入集合(含有rN个长度为N的码符号序列)中，找到M(M≤2C-ε，ε为任意小的正数)个码字，分别代表M个等可能性的消息，组成一个信道编码，选择相应的译码规则，使信道输出端的译码过程的平均错误译码概率Pe，min达到任意小。

抗干扰信道编码定理只是一个存在性定理。它表明平均错误译码概率Pe趋向于0、信道信息传输率无限接近于信道容量的抗干扰信道编码是存在的。虽然香农并没有给出相应的实现方法，但在这一定理的指引下，纠错码已发展成信息论的一个专门分支学科。几十年来，随着通信技术的发展和实际应用的不断增加，人们一直在努力寻找能够更加逼近香农限的高性能的编译码方法。从早期的分组码、代数码、卷积码，到今天的Turbo码、LDPC码，系统性能与香农限之间的差距越来越小。表1是几种重要编码的指标比较。

表中：第2列为码率等于1／2的码型；第3列为不同类型码在1／2码率时，为实现通信错误译码概率Pe<10-5所需要增加的信噪比。可见，BCH码和卷积码与解还有很大距离。Turbo码和LDPC码的性能指标十分接近香农干扰信道编码定理的解。LD-PC码是目前逼近香农限的一类纠错码。

LDPC码是Gallager早于1962年提出的，亦称Gallager码。之后，在Turbo码研究的巨大成功的带动下，Mackay等人重新研究了LDPC码，并发现它具有非常好的特点。基于良好的译码性能，LDPC码成为当前纠错编码的一个研究热点，目前，LDPC码已成为第4代移动通信编码技术中的。

2 LDPC码结构

LDPC码是一种可以用非常稀疏的校验矩阵来定义的线性分组纠错码，它是一种基于正则的稀疏二分图的编码，因此也称为正则低密度码。LDPC的编码主要是寻找一种合适的方法产生稀疏校验矩阵H，它与其他分组码的校验矩阵的区别在于它的矩阵中含有大量的0，仅含有少量的1。这也就是LDPC码性能优异的原因所在。该矩阵可以采用长度线性同余序列产生。

在LDPC码的研究过程中，Tanner提出二分图(Bipartite Graph)模型对LDPC码进行分析。用二分图(见图1)表示LDPC码的优点是便于译码和进行性能分析。二分图和校验矩阵是直接对应的，由比特节点、校验节点和连接它们的边构成。每个校验节点fi对应于H矩阵的一行，每个比特节点xi对应于H矩阵的一列。当码字中某一比特包含在某一校验方程中，即校验矩阵中相应的位为1时，图1中的校验节点和比特节点之间存在连线。二分图也叫Tanner图。对于每个节点，与之相连的边数称为这个节点的次数(degree)。根据二分图中消息节点和校验节点次数分布的不同，LDPC码可以分为正则码和非正则码。正则码就是每个消息节点的次数都相同，每个校验节点的次数也相同；非正则码就是消息节点的次数不都相同，校验节点的次数不都相同。

3 编码方法

一般情况下校验矩阵H是随机构造的，因而是非系统化的。在编码时像一般线性分组码一样，可以对矩阵H用高斯删除法，把它化为图2所示的下三角形形式。将码字X划分为系统部分S和校验部分C，即X=(S，C)。首先将n-m维信息符号作为S，再用回代法确定m个校验信号，即计算：

但是，当H很大时，高斯删除法的计算量过大，时间太长。因此，通常采用下面所述的准下三角形校验矩阵编码方法，如图3所示。

该编码过程主要分为预处理和实际编码两步。在预处理阶段，首先进行矩阵的行列置换，目前比较常用的转换方法是贪婪算法，变换后得到的矩阵是准下三角形的形式，如图3所示。然后还需要校验φ=～ET-1B+D是非奇异的。

将校验矩阵H表示成如下形式，令式中：A为(m-g)×(n-m)矩阵；B为(m-g)×g矩阵；T为(m-g)x(m-g)矩阵；C为g×(n-m)矩阵；D为g×g矩阵；E为g×(m-g)矩阵。

T为一个方阵，而且它是一个对角元素为1的下三角矩阵。用矩阵日左乘 ，可得 ，因为X=(S，p1，p2)，定义S为系统部分，p1，p2为校验部分，p1长度为g，p2长度为m-g，所以HXT=0T，可以用下面两个方程表示：

定义φ=-ET-1B+D，并假设φ是非奇异矩阵。则从式(2)可以得到：

因此，只要矩阵-φ-1(-ET-1A+C)已知，只要进行简单的矩阵相乘运算就能得到p1，再求p1T。然后由式(1)可以得到p2T=-T-1(AST十Bp1T)。因此，在给出向量S和奇偶校验矩阵H时就可以很容易得到X=(S，p1，p2)。

此外，文献[4]出用有限几何中的点线来构造LDPC码，并使其编码时间与长度n成线性的关系。平时使用的有限几何有两种：欧氏几何和射影几何。这些编码方法都大大降低了编码复杂度。

4 LDPC码在通信技术中的应用

LDPC码由于更接近香农限的误码率性能，完全并行的迭代译码算法使其比Turho码在部分场合的应用前景更为广阔。在许多需要高可靠性的通信系统中，LDPC码成了Turbo码的有力竞争者。

4.1 LDPC码在UWB系统中的应用

UWB(超宽带)信号的特点是低信噪比、抗多径能力强、高数据速率和信号的频谱宽、功率低，因此其信道编码应该具有较强的纠错能力和较低的编译码复杂度。LDPC码同时具有以上两个方面的特性。在构造应用于UWB系统的LDPC码时，需要满足下面3个条件：采用中短长度的码；尽量避免二分图中短长度圈的个数；尽量优化检验矩阵H的结构。

一个K个用户DS-UWB系统的信号通过室内多径信道的系统整体框图如图4所示。

每个用户的信息比特通过LDPC码编码器后，都采用BPSK(二进制相移键控)直接序列扩频调制。假设n(￡)是均值为0的AWGN(高斯白噪声)，接收机是自适应的，并且采用MMSE(均方误差)方法。将自适应接收机输出的软信息和方差一起送到LD-PC码译码器。

4.2 LDPC码在CDMA系统中的应用

将LDPC码应用于CDMA(码分多址)系统将大大提高通信系统容量。由图5可见，使用LDPC码的CDMA系统的容量是使用正交卷积码的CDMA系统容量的2倍，是未使用纠错码的CDMA系统容量的5倍。

随着移动通信用户的日益增多，LDPC码将在未来的移动通信的扩容中发挥重要作用。

4.3 LDPC码在其他通信技术中的应用

文献[7]建议把LDPC码用在DSL(数字用户线)中，模拟结果显示，LDPC：码获得编码增益与Turbo码相当，但是其运算量大大低于Turbo码，且没有Turbo码中出现的差错平底现象。模拟结果还显示，在0.5 ms～10 ms延时条件限制下，其获得的编码增益远高于G.922.1建议中使用的trellis-coded调制所获得的编码增益。

在文献[8]中，Flarion所开发的集成了V-LDPC的flash-OFDM(正交频分复用技术)移动无线芯片组已用于基于IP的移动宽带网，以便增大传输距离和在无线信道中的坚韧性，而且硬件实现比较简单。flash-OFDM用于移动设备上，其数据速率可达3 Mbit／s。

此外，LDPC码在有记忆衰落信道、压缩图像传输和磁记录信道等方面也有重要应用。

5 结束语

LDPC码具有良好的译码性能，与Turbo码相比更易于硬件实现，并能得到更高的译码速度。下一步的研究将集中在如何设计出码长更长的LDPC译码器，进一步提高传输速率，降低误码率，以使LDPC码在未来通信技术中得到更加广泛的应用。