光子晶体的理论研究

为了能够在实验室中制备出光子晶体，我们首先要对不同结构的光学禁带进行模拟计算。现有的理论计算方法一般采用平面波法（Plane Wave Method）、转移矩阵法(Transfer Matrix Techniques)、有域差分法(Diffraction Grating Mathod)、超原胞方法(Supercell Method)等等。

平面波法——这是传统的计算电子能量近代的方法，它可以直接给出光子禁带结构。其基本的思想就是：将电磁波和随空间变化的介电常数得到数在倒格矢空间以平面波的形式叠加展开，于是将麦克斯韦方程组化成一个本征方程。求解它的本征值便得到了传播的光子的本征频率。由于这种方法需要先用Bloch定律确定本征值，所以当材料的折射率分布的周期性保持比较好时，这种方法还是很有效的。但是在一些复杂的体系中，如有缺陷的时候，需要大量的平面波，而这可能因为计算能力的限制难以得到是准确解释，甚至因为在展开中出现发散而得不到解。1990年，光子晶体的研究才刚刚起步，美国埃荷花大学的何启明领导的一个研究小组首次成功地预言了在一种具有金刚石结构的三维光子晶体中存在完整的光子禁带。他们当时采用的理论计算方法就是平面波展开。

转移矩阵方法——将是空间分割成许多格点（一维模型则为层），通过转移矩阵表示一个格点的场强和周期相邻格点场强之间的关系，这样可以利用麦克斯韦方程组将电磁场从一个初始位置外推到整个光子晶体空间。于是，解麦克斯韦方程组变成了求解本征值的问题。这种方法对各种各样的一维体系，尤其是介电常数随频率变化的结构特别有效，度非常好，并且可以同时计算色散曲线、投射率和反射率。所计算的结果可以直接和实验相比较。但是用这种方法计算光子禁带的结构就比较困难。

有域差分法——这是电磁场计算中用得比较多的方法。以差分的方式代替麦克斯韦方程中的微分项，然后以网格的方式代替将要考察的空间范围，当初始条件和边界条件给定时，电磁波在空间的传播的过程就直接给出来了。采用这种方法，其计算量只与体系的大小有关，而与体系的内部结构是否周期性等无关，通过模拟每个时刻空间的电场分布，理论上我们可以得到一切有关电磁波在介质中的传播信息。

超原胞方法——这种方法是特别用来计算在周期性被破坏或者有“缺陷”的区域中引入的“杂质态”的。但是和平面波方法一样，当周期性被破坏得很厉害时，这个方法变得很不可靠。

以上就是计算光子晶体所用到的基本方法，目前国内外对光子晶体理论性的研究已经相当热门。一些研究小组根据自己的需要开发了许多专门的应用软件来研究计算光子晶体的能带结构，并且一些小组将这些软件共享在网络当中。