Costas序列在雷达信号设计中的应用研究

0 引言

　　雷达的距离分辨率和速度(径向)分辨率取决于雷达选择的信号形式，雷达信号在频域上占据的频带越宽，则其距离分辨率越好；雷达信号在时域上持续宽度越大，则其速度分辨率越佳。从提高雷达分辨率的角度设计雷达信号，就要求信号模糊函数的主峰高而尖锐，副峰低而平坦。常用的雷达信号，例如：LFM(线性调频)信号对速度不敏感，不能用来测速，NLFM(非线性调频信号)自相关函数的旁瓣电平有所改善，但在模糊函数高多普勒频率截面上仍存在较大的距离旁瓣，大目标或杂波的旁瓣将掩盖旁瓣附近小目标的主瓣，在多目标环境中，多个目标响应旁瓣的合成，甚至可能掩盖较强目标响应的主瓣。又由于线性调频信号存在着多普勒频移与距离的耦合，因此当目标回波的多普勒频移较大时将产生较大的测距误差。

　　本文介绍一种FHSS(跳频扩频)信号，雷达信号如果按Costas序列的构成方法进行跳频，将得到理想的模糊函数性能。

1 Costas序列的概念

　　设P为n阶置换矩阵，若序列P的(离散)自相关函数R(τ，d)副瓣的值不大于1，则称置换矩阵P为n阶Costas矩阵，序列P称为Costas序列。

　　为线性调频信号与Costas信号及其离散自相关函数的图形。其中：图(a)为正斜率的线性调频信号，图(e)为其离散自相关函数；图(b)为负斜率的线性调频信号，图(f)为其离散自相关函数；图(c)为6阶Costas信号，6阶Costas序列可用有限域理论生成，其本原元为α=3，放置函数为：y(k)=αk(mod7)，k=1，2，…，6，图(g)为其离散自相关函数；图(d)为7阶Costas信号，图(h)为其离散自相关函数。

　　a) 线性调频信号的离散自相关函数具有较高的副瓣，而Costas信号离散自相关函数副瓣的值为1。

　　b) 在图(e)(或图(f))中，副瓣的总和为：2(5+4+3+2+1)=30，在图(g)中，副瓣的总和(即1的个数)为：6(6-1)=30。还可以发现，在图(e)(或图(f))中每一行(或列)副瓣的数值与图(g)中对应的行(或列)副瓣1的和相等。由模糊体积不变性原理，可以知道任何调制都不能改变模糊曲面下的总容积。该容积只取决于信号的能量，而与信号的形式无关，但可选择适当的信号形式，也就是选择不同形状的模糊曲面，使其与特定的目标环境图相匹配，以实现在所需要分辨目标的区域，使模糊图的体积分布小些，从而提高分辨力。例如：可以采用非线性调频信号来改善线性调频信号的副瓣性能和提高多普勒灵敏度，从这种意义上说，可以认为Costas信号是一种特殊形式的非线性调频信号。其模糊函数图形具有像相位编码信号一样的"图钉状"特性。在时域宽度一定的情况下，信号按照Costas序列构成方法进行FHSS，利用Costas序列特殊的序列结构，以及信号频谱的扩展换取了信号理想的模糊函数性能。Costas序列特殊的序列结构可使模糊函数的副峰低而平坦，信号频谱的扩展可使模糊函数的主峰高而尖锐。

　　判断n阶置换序列P是否为Costas序列，需要计算序列P的自相关函数，当n较大时，计算工作量是很大的。利用有限域理论，能够快速构造Costas序列。

2 有限域简介

　　具有有限个元素的域称为有限域，有限域又称为伽罗瓦(Galois)域，将q阶有限域记作GF(q)。

　　任何两个元素个数相同的有限域是同构的。两个同构的域，如果不管它们的实际背景而只考虑它们的代数性质，可以将它们等同起来看做一个域。

GF(q)(q<∞)，有两种类型：

　　a) 包含q=p个元素，p为一个素数，这种域同构于整数模p的同余类域Zp。

　　b) 包含pn个元素，p为素数，n为大于或等于2的整数，称为GF(p)的扩域GF(pn)。

　　GF(pn)(n≥2)可看成一个多项式环，多项式的次数为(n-1)，多项式的系数为Zp的元素，环中的运算为模f(x)的多项式加法和乘法，其中，f(x)为Zp上的任一个n次不可约多项式(即f(x)的所有根都不在Zp上)，则这个多项式环就是有限域GF(pn)。

　　GF(p)的扩域GF(pn)又是Zp上的n维线性空间，因此存在一组基ul，u2，…，un，使F={a1u1+a2u2+…+anun|ai∈Zp，1≤i≤n}，所以F中元素个数(即F中元素在基u1，u2，…，un下坐标组的个数)为： 。

　　GF(pn)的非零元的集合GF(pn)*是一个乘群，GF(pn)*的生成元又叫本原元。

3 Costas序列的代数结构

　　设有限域GF(p)，p为素数，α为GF(p)的本原元，η为GF(p)的非零元，序列C为(p-1)阶置换矩阵，则序列C为Costas序列的充分条件是序列C的放置函数为：

　　这种Costas序列称为Welch Costas序列，简称W-C序列。若η取为1，则y(k)≡αk(mod p)，本文中的Welch Costas序列都是指这种序列。

　　设有限域GF(q)，q=pn，p为素数，n为自然数，α，β为GF(q)的本原元，序列C为(q-2)阶置换矩阵，则序列C为Costas序列的充分条件是序列C的放置函数为：

　　上式也就是：若设序列C的单元格的坐标为(i，j)，则当αi+βj≡1(modf(x))时，在该单元格放置1。这种结构的Costas序列称为Colomb Costas序列。

　　注意：当1≤i，j≤q-2时，αi+βj≡1一定成立。亦即： i，1≤i≤q-2， j，l≤j≤q-2，使得αi+βj≡1。

　　事实上，因为α为GF(q)的本原元，所以GF(q)=GF(Pn)内的非零元素可表示为α的幂。又i≠q-1，所以αi表示次数为(n-1)的多项式，且αi≠0，1。因此，1-αi表示GF(pn)内的非零多项式，且1-αi≠1，0。而β为本原元，所以一定存在的j，1≤j≤q-2，使得βi≡1-αi，即αi+βj≡1。

　　若取α=β，则y(k)≡logα(1-αk)，这种结构的Costas序列称为Lempel Costas序列。

　　在保持Costas序列的向量相对关系不变的条件下，可用对Costas序列进行左右翻转、上下翻转和顺(或逆)时针旋转的方法来获得新的Costas序列，还可以用对某些高阶的Costas序列去掉一些行、列的方法来获得低阶的Costas序列。同样，在某些n阶Costas序列外角部位置增加一个1单元格，如果新增加的1单元格与原来n个1单元格之间的n个向量与原n阶Costas序列的向量都不相同，则可由n阶Costas序列增加一行和一列得到n+1阶Costas序列。例如，某些素数阶的Costas序列可以由低一阶的Welch Costas序列用这种方法来获得。

需指出的是：

　　a) 对于给定的n，当Welch Costas序列或GolombCostas序列存在时，Welch Costas序列或Golomb Costas序列不一定是全部的n阶Costas序列；

　　b) 在实际应用中，若不能应用有限域理论构造n阶Welch-Costas序列或Golomb-Costas序列，此时可以采用穷举法在n!个n阶置换矩阵中搜索Costas序列，搜索的方法可以采用计算置换矩阵的校验矩阵的方法，为了减小计算工作量，可以利用校验矩阵的性质简化计算。对于较大的n，用穷举法搜索Costas序列的工作量巨大，所以是不实用的；

　　c) 当n>25时，其Costas序列的数量将显著减少。特别地，当n趋于无穷大时，Costas序列数趋于0。

　　d) 我们还不能回答，当n满足什么条件时，不存在Costas序列，但当n=32、33或43时，不存在Costas序列。

4 信号的模糊函数

　　设u(t)为复包络，令

　　x(τ，fd)称为信号u(t)的模糊函数。

　　x(τ，fd)沿着fd=0的截面为：

　　x(τ)称为信号的距离模糊函数。

　　由式(4)可知，x(τ)为信号的自相关函数，对能量型信号，其傅里叶变换存在，信号自相关函数的傅里叶变换等于信号傅里叶变换幅值的平方，即信号的能谱密度。对功率型信号，当信号的自相关函数可积时，信号自相关函数的傅里叶变换等于信号的功率谱密度。雷达信号在频域上占据的频带越宽，则其距离分辨力越好。

x(τ，fd)沿着τ=0的截面为：

x(fd)称为信号的速度模糊函数。

　　由式(5)可知，s(fd)为信号复包络模(实包络)平方的傅里叶变换，换句话说，速度模糊函数只与信号的幅度有关，而与信号的相位和频率调制无关。雷达信号在时域上持续宽度越大，则其速度分辨力越好。

　　当u(t)为离散数字信号时，u(t)=u(nTs)=u(n)(n=0，1，…，M-1)，Ts表示采样周期。对于给定的τ=m(-M+1≤m≤M-1)，设fd=△f·k= ，式中fs=1／Ts表示采样频率，代入模糊函数定义式(3)中，得

5 FHSS信号与Costas序列信号

　　单位能量FHSS信号的复包络可表达为：

　　式中：y(k)称为跳频算子；B表示信号占据的频带宽度；频隙Fb=B／N，Tb表示时隙，信号占据的时域宽度T=NTb。第k个时隙发送信号的中心频率为fc+fk。为防止子脉冲频谱发生交叠，频隙应不小于子脉冲的频带宽度。

　　当y(k)为N阶Costas序列的放置函数时，上式表示的FHSS信号即为按照Costas序列构成方法进行FHSS的信号，这种信号具有理想的模糊函数性能。对子脉冲为恒载频的Costas序列跳频编码信号，θk(t)=0；对子脉冲为LFM的Costas序列跳频编码信号，

6 多目标散射和多路径传输环境的数学模型与雷达信号设计

　　设雷达发射信号为u(t)，假设散射目标为多个点目标，信道为AWGN(加性白高斯噪声)信道，则接收信号为：

　　式中：z(t)为零均值加性复高斯白噪声过程；

　　αi(t)、τi(t)和wi(t)分别为第i条路径的衰减因子(以t为变量的复随机过程)、传播时延和多普勒角频率。

　　若散射目标不是点目标，则可将v(t)看做由连续多径分量组成的，此时：

　　式中：c(τ，t)是信道时变冲激响应h(τ，t)的复包络(等效低通时变冲激响应)；h(τ，t)表示在t-τ时刻施加的单位冲激在t时刻的信道响应。当存在大量路径时，应用中心极限定理，c(τ，t)可建模为一个以t为变量的复高斯随机过程。

　　若信道为非时变的，则

　　如果将目标散射电磁波看成是信道的特性，那么对目标的探测就可等同于对信道特性的检测。因为信道是随机时变的，所以要研究能表征其统计特征的物理量--散射函数。散射函数与信道等效低通冲激响应(信道冲激响应的复包络)的频移、时移自相关函数具有双傅里叶变换的关系。散射函数是时延τ和多普勒频率φ的函数，它表征了信道平均输出功率的量度，在多目标散射和多径传输的信道中，对目标的检测可归结为对信道的散射函数的检测。文献[9]给出了匹配滤波器输出的平均信号干扰比的数学表达式，如果信号的模糊函数具有二维δ函数的特性，那么匹配滤波器的输出即为信道的散射函数。所以为了正确检测出目标，要求信号的模糊函数具有二维δ函数的针状特性：主峰尖锐，且模糊体积很小。但事实上，这样的信号是不存在的，由模糊体积不变性知道，任何调制都不能改变模糊曲面下的总容积，该容积只决定于信号的能量，而与信号的形式无关。Costas序列信号的模糊函数具有"图钉状"的特性：主峰尖锐，副峰很小，由图1可知，Costas序列信号的模糊体积不会减小。为了解决这个问题，可用2个信号来代替1个信号，即在同一个重复周期内，发射2个不同的Costas跳频编码序列信号，因为2个信号模糊函数的副峰不会都出现在同一个位置，所以在接收端可通过综合2个信号的信息使2个信号模糊函数的边瓣相互抵消，从而获得主峰尖锐且模糊体积很小的针状特性。

　　在同时使用多个同阶Costas跳频编码序列信号的多用户雷达系统中，需要减小各信号之间的互相关，多用户系统中雷达信号设计问题，限于篇幅，本文不再讨论，有关这方面的内容参见文献[3]。

7 计算机仿真结果

　　有限域GF(11)上共有4个本原元，分别为2、6、7和8。其中，2和6为一对互逆的本原元，7和8为另一对互逆的本原元。

　　本文给出利用GF(11)上本原元α=2和β=6生成的2个Welch Costas序列信号的自模糊函数、自相关函数、离散傅里叶变换、互模糊函数以及采用双信号发、收的计算机仿真结果。在图2～图4中：τ为时延，fd为多普勒频率，Tb为时隙，T为信号时域长度。

　　子脉冲的带宽时宽乘积BT=5.76。为了满足奈奎斯特(Nyquist)取样定理，采用N=128点，用10段调频序列，调频范围分别是0.045～0.09，0.135～0.09，0.135～0.18，0.225～0.18，0.225～0.27，0.315～0.27，0.315～0.36，0.405～0.36，0.405～0.45，0.495～0.45(归一化频率)，对这10段调频序列进行Costas跳频编码。
　　采用N=128点，用10段恒载频序列，恒载频序列的频率分别是0.008，0.016，0.024，0.032，0.04，0.048，0.056，0.064，0.072，0.08(归一化频率)，对这10段恒载频序列进行Costas跳频编码。
　　用双信号s1(t)和s2(t)发射、接收的仿真图。图(a)和图(b)的s1(t)采用N=128点，调频范围为0～0.5(归一化频率)的正斜率LFM信号；s2(t)采用N=128点，调频范围为0.5～0(归一化频率)的负斜率LFM信号。图(a)表示：用s1(t)和s2(t)共同发射，在接收端对同一个目标(时延τ0=2，多普勒频率φ0=0.002 5)联合接收的情况。图(b)表示：用s1(t)和s2(t)共同发射，在接收端对两个不同的目标(s1(t)所对目标时延丁τ0=2，多普勒频率φ0=0.002 5，s2(t)所对目标时延τ1=6，多普勒频率φ1=0.04)联合接收的情况。图(c)和图(d)的s1(t)为用本原元α=2生成的Welch Costas序列信号，含有10个子脉冲，子脉冲为LFM矩形包络的脉冲信号，每个子脉冲含有128点，调频斜率正负相间，每段序列的调频范围与图2的仿真条件相同；s2(t)为用本原元β=6生成的WelchCostas序列信号，含有10个子脉冲，子脉冲为LFM矩形包络的脉冲信号，每个子脉冲含有128点，调频斜率正负相间，每段序列的调频范围与图2的仿真条件相同。图(c)表示：用s1(t)和s2(t)共同发射，在接收端对同一个目标(时延τ0=2，多普勒频率φ0=0.0045)联合接收的情况。图(d)表示：用s1(t)和s2(t)共同发射，在接收端对两个不同的目标(s，(t)所对目标时延τ0=2，多普勒频率φ0=0.004 5，s2(t)所对目标时延τ1=8，多普勒频率φ1=0.036)联合接收的情况。

　　在信号时域长度相同的情况下，子脉冲为LFM矩形包络的Costas信号的有效频谱比子脉冲为恒载频矩形包络的Costas信号的有效频谱有所扩展(扩展的倍数约为5.76倍)，距离分辨率主瓣前者比后者变得尖窄。另外，在仿真中发现，对子脉冲为恒载频的Costas信号，改变频隙，对信号的模糊函数性能影响较大，图中仿真结果对应的频隙等于时隙的倒数，即归一化频隙为1／128≈0.008。由于速度模糊函数为信号复包络模(实包络)平方的傅里叶变换，与信号的相位和频率调制无关，而信号包络为矩形脉冲(门函数)，因此速度模糊函数的辐频特性具有取样函数的模|sa(x)| =|sin x／x|的形状。

　　采用正斜率和负斜率的两种LFM信号，对同一个目标这两种信号的边瓣将相互抵消，从而获得主峰尖锐、且模糊体积很小的"针状"特性。但对两个不同的目标，边瓣将不能相互抵消，引起虚假信号。采用两种Costas序列信号，对同一个目标这两种Costas序列信号的边瓣将相互抵消，从而获得主峰尖锐、且模糊体积很小的"针状"特性，并且对两个不同的目标，边瓣也能相互抵消，不会引起虚假信号。

8 结束语

　　利用Costas跳频编码使信号的模糊函数形成近似理想的"图钉"形状，提供高的时延频偏联合估计，能够比较准确地估计高速运动目标反射回来回波信号的多径时延和频移。用模糊函数时频分析处理多径信号在目标检测中有很好的效果，在接收端进行匹配滤波时，综合了时延和多普勒二维的信息，因此其分辨率比只提取一维距离信息的时域相关检测好。与普通的时域相关检测比较，其优点是：有更高的以及很好的抗噪声能力；可以同时估计时延和频偏，从而提高系统时延估计性能；检测比较高，具有较高实用价值，可以用在雷达、声纳等方面，为目标定位提供高的判断。