有限带宽信号的采样和混叠分析

１ 引言

越来越多的应用要求采样模拟信号，将其转换为数字信号，对数字信号做各种计算和处理，然后再将它们转换成模拟信号。本文讨论了如何采样模拟信号并对其整形以保持原始信号的方法。

２　基带信号的采样和混叠分析

先从有限带宽信号着手讨论，有限带宽信号是指某个频率点（截止频点）之外的所有频率的频谱成分的幅度都为０的信号。如图１中的ｇ(ｔ)，大于截止频点α的频率范围内的频谱分量全部为０。在这种情况下，α也就是这个基带信号的带宽。对ｇ(ｔ)的采样在数学上可以用以下方式表达：将ｇ(ｔ)乘以周期为Ｔ的冲激函数。ｇ(ｔ)在冲激点的信号值被采样，而其它点的值都为０。从模拟信号角度来看，就是按频率ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ＝１／Ｔ对ｇ(ｔ)取样。采样后的信号ｓ(ｔ)可用以下公式表示：

 

为了得到采样后信号ｓ(ｔ)的频谱，可对ｓ(ｔ)做傅立叶变换：

 

冲激串函数是一个周期函数，可以用傅立叶级数表示，如下式：

 

此处的傅立叶系数为：

 

上式中积分的上下限只由一个周期来决定。在保证等效的前提下，可以进行以下变换：用从负无穷到正无穷的傅立叶积分代替上式中的积分，周期性的冲激函数用基频冲激函数代替，则上式可改写为：

 

冲激串函数可用以下更方便做傅立叶变换的简化形式表示：

 

考虑到一个信号可由它的傅立叶变换积分得到，如下式：

可得到如下终结果

根据以上结果，再重新考虑被采样的基频信号，它的傅立叶变换为：

 

两个信号Ａ(ｆ)和Ｂ(ｆ)的卷积定义为：

 

则Ｓ(ｆ)可改写为:

上式就是我们常说的采样定律。它表明在时域里按周期Ｔ采样得到的信号会以１／Ｔ 的频率重复原始信号的频谱，如图２所示。

    为保留所有原始信号的信息，必须保证每一个重复频谱之间不发生混叠。否则，就不可能从采样信号中恢复出原始信号。混叠意味着高频段掩盖了低频段信号，如图３所示。为避免混叠，必须满足以下条件：１／Ｔ≥２α或１／Ｔ≥２ＢＷ。也可用采样频率表示为：

ｆＳＡＭＰＬＩＮＧ≥２ＢＷ

以上表明不会产生混叠的采样频率是２ＢＷ。这就是奈奎斯特采样定律。

图３给出了被混叠的采样信号。高频信号分量ｆＨ叠加在低频部分。设计时，通常用一个低通滤波器来恢复原始频谱并将其它频谱分量滤掉。当使用截止频率为α的低通滤波器恢复图３信号时，它无法将混叠的高频信号滤掉，从而造成信号的劣化。

３　带通信号的采样和混叠分析

再来看另一种有限带宽信号，带通信号。带通信号的低频截止点不在０ＨＺ。图４中的带通信号的频谱能量范围在αＬ和αＵ之间，它的带宽定义为αＵ－αＬ。带通信号和基带信号的主要差异就是带宽的定义。基带信号的带宽等于它的高频截止频率，而带通信号的带宽等于高频截止频率和低频截止频率之差。由前面的讨论可知，采样信号以１／Ｔ 的周期重复原始信号的频谱。因为这个频谱实际上包括从０Ｈｚ到原始带通信号低频截止频率之间的０幅值频带，所以实际的原始带通信号带宽要比αＵ小。这样就可以在频域做一定的频率偏移，而采样频率也可以降低。为满足奈奎斯特定律，一个实际带宽为αＵ／２的原始带通信号，其采样频率设为αＵ即可，采样信号的频谱如图５所示。这样的采样没有产生混叠，因此如果有理想的带通滤波器，可完全恢复出原始信号。在本例中，基带和带通信号的差别非常重要。对于基带信号，带宽和相应的采样频率只由高频截止点决定。而带通信号的带宽通常都要比高频截止频率小。

４ 采样方式及结果分析

以上特性决定了从采样信号恢复原始信号的不同方法。对于高频截止点相同的基带信号和带通信号，只要采用合适的带通滤波器，带通信号的采样频率就可以降低（图５中的白色矩形部分）。而低通滤波器在这种情况下无法恢复出原始信号，由图５可明显看出，阴影部分仍然包含在恢复信号频谱中。所以如果要用低通滤波器恢复图５中的带通信号，采样频率必须在２αＵ以上以避免混叠。有限带宽信号必须在满足奈奎斯特定律的情况下才能被完全恢复。对于带通信号，用带通滤波器时，采用奈奎斯特采样频率可避免混叠。否则就必须使用更高的采样频率。在实际应用中选择ＡＤＣ和ＤＡＣ时，这一点很重要。

    还要注意的是对有限带宽信号的假设。从数学上分析，一个信号不可能是真正有限带宽的。傅立叶变换定律告诉我们，如果一个信号在时域是有限的，则它的频谱就会扩展到无穷大，如果它的带宽是有限的，则它在时域上就是无限的。很显然，我们找不到一个具有无穷大周期的时域信号，所以也不可能有真正的有限带宽信号。不过绝大部分实际信号的频谱能量都集中在有限带宽中，因此前面的分析对这些信号仍然有效。采样正弦信号可以非常简单和方便地检测出采样频率是否偏低，因为混叠现象是采样频率偏低所特有的现象。正弦信号的频谱里的（冲激串函数）尖峰只在相应的频率点出现，出现混叠时，尖峰会移到另一个频率点，这一点对应着混叠信号。

以下测试结果是用Ｍａｘｉｍ公司推出的１２５Ｍｓｐｓ、１２位ＡＤＣ：ＭＡＸ１９５４１测试得出的。图６是它的输出信号频谱，对应的输入信号频率ｆＩＮ＝１１．５２８４ＭＨｚ。很明显，的尖峰恰好出现在该频率点上。频谱图里还有其他一些较小的尖峰，它们是由ＡＤＣ的非线性引起的谐波造成的，和本文的讨论主题无关。由于采样频率ｆＳＡＭＰＬＥ ＝ １２５ＭＨｚ，远远大于奈奎斯特定律要求的输入信号频率的２倍，因此没有混叠现象。如果将输入频率提高到ｆＩＮ ＝ １８３．４８５６ＭＨｚ，大于ｆＳＡＭＰＬＥ／２，此时应该会有混叠出现。图７是ｆＩＮ＞ｆＳＡＭＰＬＥ／２时的输出频谱图，主尖峰落在５８．４８ＭＨｚ处，这就是混叠信号。也就是说，在５８．４８ＭＨｚ出现了一个原始信号不包含的信号。在图６和图７中都只给出了奈奎斯特频率以下的频谱，因为频谱是周期性的，图中的显示部分已经包含了所有必要信息。 

图6和图7

５ 结论

以上测试结果表明采样定律是信号采样应用的基本工具，严格的数学分析对于应用中的参数选择也很重要。